Les zéros d'une fonction (ou racines)

En analyse de fonction, les "zéros" sont des points fondamentaux qui nous donnent des informations clés sur le comportement du graphique.

Qu'est-ce qu'un zéro de fonction ?

Les zéros d'une fonction, aussi appelés les racines, sont les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) est égale à zéro. Autrement dit, ce sont les solutions de l'équation f(x) = 0.

Graphiquement, les zéros correspondent aux points où la courbe de la fonction coupe ou touche l'axe des abscisses (l'axe horizontal des x). Connaître ces points est essentiel pour résoudre des équations et pour tracer un graphique précis.

Comment trouver les zéros ?

Pour trouver les zéros, la méthode est toujours la même : on pose l'équation f(x) = 0 et on la résout. Selon la complexité de la fonction, plusieurs techniques peuvent être utilisées :

La factorisation pour les polynômes simples.
La formule quadratique pour les fonctions du second degré.
Des méthodes numériques pour les fonctions plus complexes.

L'ordonnée à l'origine (ou valeur initiale)

Tout aussi important que les zéros, l'ordonnée à l'origine est un autre point de repère crucial sur le graphique d'une fonction.

Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine ?

L'ordonnée à l'origine est la valeur de la fonction lorsque x est égal à 0. C'est le point où le graphique de la fonction coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical des y). On l'appelle aussi la valeur initiale, notamment en sciences physiques, car elle représente souvent un état de départ à un temps t=0.

Comment déterminer l'ordonnée à l'origine ?

Le calcul est très direct : il suffit de remplacer x par 0 dans l'expression de la fonction et de calculer le résultat f(0).

Exemple concret avec une fonction

Prenons la fonction quadratique f(x) = x^2 – 5x + 6.

Trouver les zéros de la fonction

On pose l'équation f(x) = 0 : x^2 – 5x + 6 = 0
On résout l'équation. Ici, on peut factoriser l'expression : (x – 2)(x – 3) = 0
Les solutions sont donc x = 2 et x = 3. Ce sont les deux zéros de la fonction.

Trouver l'ordonnée à l'origine

On calcule f(0) : f(0) = 0^2 – 5*(0) + 6
Le résultat est f(0) = 6. L'ordonnée à l'origine est donc 6. Le graphique coupe l'axe des y au point de coordonnées (0, 6).