Extremos de una Función

Los extremos de una función son puntos en la gráfica de la función donde esta alcanza sus máximos o mínimos locales. En otras palabras, son puntos donde la función es la más alta o la más baja en su vecindad inmediata.

¿Cómo Identificamos los Extremos?

Los extremos de una función se pueden encontrar utilizando derivadas. Si la derivada de una función f(x) es igual a cero en un punto x = a, y si el signo de la derivada cambia al pasar por este punto, entonces el punto x = a es un extremo de la función.

Procedimiento para Encontrar Extremos

ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN: Primero, calcula la primera derivada de la función f(x), denotada como f'(x).
DETERMINAR LOS PUNTOS CRÍTICOS: Los puntos críticos son aquellos donde f'(x) = 0 o donde f'(x) no está definida. (El artículo se centra en f'(x)=0, que son los puntos estacionarios).
COMPROBAR LA NATURALEZA DEL EXTREMO: Usando el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada, determina si el punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión/silla.

Ejemplo

Tomemos la función f(x) = x³ – 3x² + 2. ENCONTRAR LA DERIVADA: f'(x) = 3x² – 6x. DETERMINAR LOS PUNTOS CRÍTICOS: Resuelve f'(x) = 0. 3x² – 6x = 0 x(3x – 6) = 0 Los puntos críticos son x = 0 y x = 2. COMPROBAR LA NATURALEZA DEL EXTREMO (USANDO EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA): Examinamos el signo de f'(x) para valores menores, entre y mayores que los puntos críticos:

Cuando x < 0 (p. ej., x = -1): f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9. Como f'(x) es positivo, la función es creciente.
Cuando 0 < x < 2 (p. ej., x = 1): f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3. Como f'(x) es negativo, la función es decreciente. Por lo tanto, en x = 0, hay un máximo local.
Cuando x > 2 (p. ej., x = 3): f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9. Como f'(x) es positivo, la función vuelve a ser creciente. Por lo tanto, en x = 2, hay un mínimo local.