Funkcje trygonometryczne
013 minCzym jest trygonometria?
Czym jest trygonometria? Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
029 minFunkcje trygonometryczne - podstawy
Funkcje trygonometryczne - podstawy. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
0310 minFunkcje trygonometryczne - przykład
Funkcje trygonometryczne - przykład. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
048 minZwiązki między funkcjami trygonometrycznymi (tożsamości trygonometryczne)
Związki między funkcjami trygonometrycznymi (tożsamości trygonometryczne). Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
0511 minCzym są sinus i cosinus?
Czym są sinus i cosinus? Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
069 minTablica funkcji trygonometrycznych
Tablica funkcji trygonometrycznych. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
076 minZnajdowanie wartości kąta za pomocą funkcji trygonometrycznych - ćwiczenie 2
Znajdowanie wartości kąta za pomocą funkcji trygonometrycznych - ćwiczenie 2. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
082 minUpraszczanie wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi 1
Upraszczanie wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi 1. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
094 minUpraszczanie wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi 2
Upraszczanie wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi 2. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady.
Definicja i związek z okręgiem jednostkowym
Funkcje trygonometryczne to funkcje kąta, które obliczają stosunki między bokami trójkąta prostokątnego lub wartościami współrzędnych na okręgu jednostkowym. Są zdefiniowane dla kątów rzeczywistych (w radianach lub stopniach) i powtarzają się okresowo. Podstawowe funkcje trygonometryczne to:
sinus (sin)
cosinus (cos)
tangens (tan)
cotangens (ctg)
Wszystkie cztery są zdefiniowane dla różnych zbiorów wartości kątów, przy czym tangens i cotangens mają określone punkty, gdzie nie są zdefiniowane (gdzie występuje dzielenie przez zero).
Definicja geometryczna
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym α:
sin α = przyprostokątna przeciwległa / przeciwprostokątna
cos α = przyprostokątna przyległa / przeciwprostokątna
tan α = przyprostokątna przeciwległa / przyprostokątna przyległa
ctg α = przyprostokątna przyległa / przyprostokątna przeciwległa
Te definicje są ważne dla kątów między 0° a 90° lub 0 a π/2 radiany. Dla szerszych wartości funkcje trygonometryczne są definiowane za pomocą okręgu jednostkowego.
Okrąg jednostkowy
Na okręgu jednostkowym (promień = 1), dla kąta α:
Punkt na okręgu ma współrzędne (cos α, sin α).
tan α = sin α / cos α, jeśli cos α != 0.
ctg α = cos α / sin α, jeśli sin α != 0.
Funkcje są zdefiniowane dla wszystkich kątów rzeczywistych, z wyjątkiem punktów, gdzie występuje dzielenie przez zero.
Podstawowe właściwości
sin α i cos α są ograniczone między -1 a 1.
tan α i ctg α są nieograniczone.
sin α jest funkcją nieparzystą (sin(-α) = -sin(α)), cos α jest funkcją parzystą (cos(-α) = cos(α)).
Funkcje są okresowe:
sin i cos: okres 2π
tan i ctg: okres π
Wartości dla kątów szczególnych
Dla kątów 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), wartości są znane i często używane:
sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = sqrt(3)/2
sin(π/4) = sqrt(2)/2, cos(π/4) = sqrt(2)/2
sin(π/3) = sqrt(3)/2, cos(π/3) = 1/2
Z nich można obliczyć tan i ctg, gdzie są zdefiniowane.
Tożsamości trygonometryczne
TOŻSAMOŚĆ PITAGOREJSKA: sin^2 α + cos^2 α = 1
TANGENS I SINUS/COSINUS: tan α = sin α / cos α
COTANGENS I COSINUS/SINUS: ctg α = cos α / sin α
WŁAŚCIWOŚCI SYMETRII: sin(-α) = -sin α, cos(-α) = cos α
Podsumowanie
Funkcje trygonometryczne opisują podstawowe stosunki między bokami trójkąta prostokątnego lub wartościami na okręgu jednostkowym. Są okresowe, ciągłe (z wyjątkiem miejsc, gdzie nie są zdefiniowane) i fundamentalne dla analizy trygonometrycznej. Ich zachowanie jest precyzyjnie określone przez symetrię, tożsamości i ich związek z układem współrzędnych.