Ekstrema funkcji

Ekstrema funkcji to punkty na wykresie funkcji, gdzie funkcja osiąga swoje lokalne maksima lub minima. Innymi słowy, są to punkty, gdzie funkcja jest najwyższa lub najniższa w swoim bezpośrednim sąsiedztwie.

Jak identyfikujemy ekstrema?

Ekstrema funkcji można znaleźć za pomocą pochodnych. Jeśli pochodna funkcji f(x) jest równa zeru w punkcie x = a i jeśli znak pochodnej zmienia się podczas przechodzenia przez ten punkt, to punkt x = a jest ekstremum funkcji.

Procedura znajdowania ekstremów:

ZNAJDŹ POCHODNĄ FUNKCJI: Najpierw oblicz pierwszą pochodną funkcji f(x), oznaczoną jako f'(x).
OKREŚL PUNKTY KRYTYCZNE: Punkty krytyczne to te, gdzie f'(x) = 0 lub gdzie f'(x) nie jest zdefiniowana. (Artykuł skupia się na f'(x)=0, które są punktami stacjonarnymi).
SPRAWDŹ NATURĘ EKSTREMUM: Używając testu drugiej pochodnej lub testu pierwszej pochodnej, określ, czy punkt krytyczny jest maksimum, minimum, czy punktem przegięcia/siodłowym.

Przykład:

Weźmy funkcję f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.

ZNAJDŹ POCHODNĄ: f'(x) = 3x^2 - 6x.
OKREŚL PUNKTY KRYTYCZNE: Rozwiąż f'(x) = 0. 3x^2 - 6x = 0, x(3x - 6) = 0. Punkty krytyczne to x = 0 i x = 2.
SPRAWDŹ NATURĘ EKSTREMUM (UŻYWAJĄC TESTU PIERWSZEJ POCHODNEJ): Badamy znak f'(x) dla wartości mniejszych niż, między i większych niż punkty krytyczne:

Gdy x < 0 (np. x = -1): f'(-1) = 3*(-1)^2 - 6*(-1) = 3 + 6 = 9. Ponieważ f'(x) jest dodatnia, funkcja rośnie.

Gdy 0 < x < 2 (np. x = 1): f'(1) = 3*(1)^2 - 6*(1) = 3 - 6 = -3. Ponieważ f'(x) jest ujemna, funkcja maleje. Zatem przy x = 0 jest lokalne maksimum.

Gdy x > 2 (np. x = 3): f'(3) = 3*(3)^2 - 6*(3) = 27 - 18 = 9. Ponieważ f'(x) jest dodatnia, funkcja ponownie rośnie. Zatem przy x = 2 jest lokalne minimum.