Funkcja wymierna jest dana w postaci:

f(x) = P(x) / Q(x),

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) != 0. Jej wykres nie jest ciągłą krzywą jak w przypadku wielomianów, ale zawiera charakterystyczne przerwy, asymptoty, dziury i inne punkty szczególne. Celem wykresu jest pokazanie zachowania funkcji wokół jej miejsc zerowych i punktów, gdzie nie jest zdefiniowana.

Kroki do narysowania wykresu funkcji wymiernej

Określ dziedzinę (Df)

Dziedzina Df obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, gdzie Q(x) = 0. Te punkty są wyłączone, ponieważ dzielenie przez zero nie jest dozwolone.

Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2), zatem Q(x) = x - 2, czyli Df = R \ {2} (wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2)

Uprość funkcję (jeśli to możliwe)

Czasami licznik i mianownik można rozłożyć na czynniki i skrócić wspólne czynniki. Pamiętaj, że punkty odpowiadające skróconym czynnikom z mianownika nadal reprezentują dziury i nie są w dziedzinie.

Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) = [(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Brak wspólnych czynników do skrócenia tutaj).

Wyznacz miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią x) funkcji

Miejsca zerowe to rozwiązania równania P(x) = 0, pod warunkiem że Q(x) != 0 w tych punktach. Te punkty odpowiadają przecięciom z osią x.

W powyższym przykładzie: P(x) = (x - 1)(x + 1), zatem miejsca zerowe: x = -1, x = 1.

Wyznacz punkt przecięcia z osią y

Podstaw x = 0, jeśli 0 należy do Df:

Przykład: f(0) = (0^2 - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. Punkt przecięcia z osią y to (0, 0,5).

Znajdź asymptoty pionowe

Występują one przy wartościach x, gdzie Q(x) = 0 po uproszczeniu (tj. czynnik w mianowniku nie skrócił się z czynnikiem w liczniku), a P(x) != 0 przy tych wartościach x. W tych punktach funkcja dąży do ±nieskończoności, a wykres zbliża się do linii pionowej.

Przykład: Dla f(x) = (x^2 - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2, zatem asymptota pionowa przy x = 2.

Znajdź asymptoty poziome lub ukośne

Są one określane przez porównanie stopni licznika P(x) i mianownika Q(x):

Jeśli stopień P < stopień Q, to asymptota pozioma y = 0.

Jeśli stopień P = stopień Q, to asymptota pozioma y = an/bn (stosunek współczynników wiodących).

Jeśli stopień P > stopień Q:

Jeśli stopień P = stopień Q + 1, to asymptota ukośna, znaleziona przez dzielenie wielomianów.

Jeśli stopień P > stopień Q + 1, to brak asymptoty poziomej lub ukośnej (zachowanie jest wielomianowe).

Przykład: f(x) = (2x^2 + 1) / (x^2 - 3), zatem stopień P = stopień Q = 2. Asymptota pozioma: y = 2/1 = 2.

Zidentyfikuj dziury w wykresie (nieciągłości usuwalne)

Jeśli czynnik (x - c) pojawia się zarówno w liczniku, jak i w mianowniku i można go skrócić, to w wykresie występuje dziura przy x = c. Funkcja nie jest zdefiniowana przy x=c, ale wykres zbliża się do punktu, który by istniał, gdyby funkcja była tam zdefiniowana.

Przykład: f(x) = [(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). To upraszcza się do f(x) = x + 2, dla x != 1.

Wykres jest prostą z dziurą przy x = 1. Aby znaleźć współrzędną y dziury, podstaw x=1 do uproszczonego wyrażenia: y = 1 + 2 = 3. Dziura w (1, 3).

Przeanalizuj zachowanie wokół asymptot i kluczowych punktów

Po lewej i prawej stronie asymptoty pionowej funkcja często dąży do +nieskończoności lub -nieskończoności. Testuj punkty, aby określić kierunek.

Dla dużych wartości |x| wykres funkcji "przylega" lub zbliża się do asymptoty poziomej lub ukośnej.

Znak funkcji można określić w przedziałach między miejscami zerowymi a asymptotami pionowymi.

Przykład pełnej analizy

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1)

Uprość: f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Brak wspólnych czynników)

Dziedzina (Df): R \ {1}

Miejsca zerowe: P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0, zatem x = -2, x = 2.

Punkt przecięcia z osią y: f(0) = (0^2 - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Punkt (0, 4).

Asymptota pionowa: Q(x) = x - 1 = 0, zatem x = 1.

Asymptota pozioma/ukośna: Stopień P(x) wynosi 2, stopień Q(x) wynosi 1. Ponieważ stopień P = stopień Q + 1, istnieje asymptota ukośna. Wykonaj dzielenie wielomianów (x^2 - 4) przez (x - 1).

Iloraz wynosi x + 1, a reszta -3.

Zatem f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). Asymptota ukośna to y = x + 1.

Podsumowanie

Wykres funkcji wymiernej zawiera ważne informacje o miejscach zerowych, asymptotach, punktach przerwania (nieciągłościach) i zachowaniu funkcji dla dużych |x|. Staranna analiza licznika i mianownika pozwala na pełne graficzne zrozumienie funkcji. Szczególną uwagę należy zwrócić na asymptoty i dziury, ponieważ określają one główne cechy przebiegu wykresu.