EGY FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKEI

A szélsőértékek a függvény grafikonjának olyan pontjai, ahol a függvény a közvetlen környezetében maximumot vagy minimumot vesz fel.

HOGYAN AZONOSÍTJUK A SZÉLSŐÉRTÉKEKET?

Deriváltakkal. Ha f′(x) egy x = a pontban nulla, és a derivált előjele a ponton áthaladva megváltozik, akkor ott szélsőérték található.

A SZÉLSŐÉRTÉK KERESÉSÉNEK LÉPÉSEI

DERIVÁLÁS: számítsd ki f(x) első deriváltját.
KRITIKUS PONTOK: keresd meg, ahol f′(x) = 0 vagy a derivált nem értelmezett.
A SZÉLSŐÉRTÉK TÍPUSA: első- vagy második deriváltas próbával döntsd el, hogy maximum, minimum vagy nyeregpont.

PÉLDA

Legyen f(x) = x³ − 3x² + 2. Ekkor f′(x) = 3x² − 6x = x(3x − 6), ezért a kritikus pontok x = 0 és x = 2.

Az első derivált előjele x < 0 esetén pozitív, 0 < x < 2 között negatív, x > 2 esetén pedig ismét pozitív. Ezért x = 0-ban lokális maximum, x = 2-ben lokális minimum található.

ÖSSZEFOGLALÁS

A derivált előjelének és a kritikus pontoknak a vizsgálatával meghatározhatók a függvény lokális szélsőértékei.