Introduction aux extremums d'une fonction

Les extremums d'une fonction sont des points sur le graphique de la fonction où celle-ci atteint ses maximums ou minimums locaux. En d'autres termes, ce sont les points où la fonction est la plus haute ou la plus basse dans son voisinage immédiat.

Comment identifier les extremums ?

Les extremums d'une fonction peuvent être trouvés en utilisant les dérivées. Si la dérivée d'une fonction f(x) est égale à zéro en un point x = a, et si le signe de la dérivée change en passant par ce point, alors le point x = a est un extremum de la fonction.

Procédure pour trouver les extremums

Calculer la dérivée de la fonction

D'abord, calculez la dérivée première de la fonction f(x), notée f'(x).

Déterminer les points critiques

Les points critiques sont ceux où f'(x) = 0 ou où f'(x) n'est pas définie.

Vérifier la nature de l'extremum

En utilisant le test de la dérivée seconde ou le test de la dérivée première, déterminez si le point critique est un maximum, un minimum, ou un point d'inflexion.

Exemple

Prenons la fonction f(x) = x³ – 3x² + 2.

Calculer la dérivée

f'(x) = 3x² – 6x.

Déterminer les points critiques

Résolvez f'(x) = 0. 3x² – 6x = 0 x(3x – 6) = 0 Les points critiques sont x = 0 et x = 2.

Vérifier la nature de l'extremum (en utilisant le test de la dérivée première)

Nous examinons le signe de f'(x) pour des valeurs inférieures, comprises entre, et supérieures aux points critiques :

Quand x < 0 (par exemple, x = -1) : f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9. Comme f'(x) est positif, la fonction est croissante.
Quand 0 < x < 2 (par exemple, x = 1) : f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3. Comme f'(x) est négatif, la fonction est décroissante.
Par conséquent, en x = 0, il y a un maximum local.
Quand x > 2 (par exemple, x = 3) : f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9. Comme f'(x) est positif, la fonction est de nouveau croissante.
Par conséquent, en x = 2, il y a un minimum local.