La dérivée mesure la variation d’une fonction par rapport à sa variable. Elle donne les pentes des tangentes, les extrémums (maximums et minimums) et les points d’inflexion. Ci-dessous, un rappel concis et trois exercices résolus pas à pas avec la règle de puissance.

Concepts de base

La dérivée de f(x) en x se définit comme la limite du taux de variation moyen quand h tend vers 0:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Cette définition fonde toutes les règles de dérivation.

Règles de dérivation

Dérivée d’une constante: d/dx(c) = 0
Règle de puissance: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
Facteur constant: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
Somme et différence: dériver terme à terme
Règle du produit: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
Règle du quotient: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
Règle de la chaîne: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Exemples

Exemple 1 f(x) = x^-3. Avec n = -3: f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4 (Optionnel) f'(x) = -3/(x^4), avec x != 0.

Exemple 2 f(x) = 3x^8 + x^-2. Terme par terme: d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7 d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3 Au total: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3 (Optionnel) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Exemple 3 f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8. d/dx(3x^4) = 12x^3 d/dx(-5x^3) = -15x^2 d/dx(2x^2) = 4x d/dx(6x) = 6 d/dx(8) = 0 Résultat: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Usages des dérivées

Elles servent à trouver des taux instantanés, optimiser, analyser la concavité et les points d’inflexion et constituent la base des intégrales et EDO.

Conclusion

La maîtrise vient avec la pratique. Descendez l’exposant, soustrayez 1, surveillez les signes et souvenez-vous: d/dx(x) = 1 et d/dx(constante) = 0.