Définition d'une fonction rationnelle

Une fonction rationnelle est une fonction mathématique qui peut être exprimée comme le quotient de deux polynômes. Cela signifie qu'une fonction rationnelle a la forme f(x) = P(x)/Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes, et Q(x) ne doit pas être le polynôme zéro (Q(x) ≠ 0).

Le concept d'asymptote

Une asymptote d'une fonction rationnelle est une droite qui décrit le comportement du graphique de la fonction lorsque x ou f(x) s'approche de certaines valeurs mais ne les atteint jamais réellement. Il existe trois types d'asymptotes : asymptotes verticales, horizontales et obliques.

LES ASYMPTOTES VERTICALES se produisent lorsque la fonction s'approche de l'infini ou de moins l'infini lorsque x s'approche d'une certaine valeur. Cela se produit lorsque le dénominateur Q(x) est égal à 0, mais le numérateur P(x) n'est pas égal à 0 à la même valeur de x (après que tous les facteurs communs aient été annulés).
LES ASYMPTOTES HORIZONTALES décrivent le comportement du graphique de la fonction lorsque x s'approche de l'infini ou de moins l'infini. Une asymptote horizontale se produit lorsque la valeur de la fonction s'approche d'une certaine constante.
LES ASYMPTOTES OBLIQUES sont des asymptotes qui ne sont ni verticales ni horizontales. Elles se produisent lorsque le degré du numérateur P(x) est exactement supérieur d'un au degré du dénominateur Q(x).

Comment trouver les asymptotes d'une fonction rationnelle ?

ASYMPTOTES VERTICALES : Résoudre l'équation Q(x) = 0. Chaque solution 'c' pour laquelle P(c) ≠ 0 (après simplification de la fraction P(x)/Q(x) en annulant les facteurs communs) sera l'emplacement d'une asymptote verticale, x = c.
ASYMPTOTES HORIZONTALES :
- Si le degré du numérateur P(x) est inférieur au degré du dénominateur Q(x), alors y = 0 est l'asymptote horizontale.
Si les degrés sont égaux, l'asymptote horizontale est y = (coefficient dominant de P(x)) / (coefficient dominant de Q(x)).
Si le degré de P(x) est supérieur au degré de Q(x), il n'y a pas d'asymptote horizontale.
ASYMPTOTES OBLIQUES : Si le degré du numérateur P(x) est exactement supérieur d'un au degré du dénominateur Q(x), effectuer une division polynomiale longue pour diviser P(x) par Q(x). Le quotient (qui sera une équation linéaire de la forme y = mx + b) représente l'asymptote oblique. Le terme du reste devrait s'approcher de zéro lorsque x s'approche de ±∞.

Exemple

Pour la fonction f(x) = (2x² + 3x - 5) / (x - 1), trouvons les asymptotes.

Asymptote verticale

Poser le dénominateur x - 1 = 0, ce qui donne x = 1. Maintenant, vérifier la valeur du numérateur P(x) = 2x² + 3x - 5 en x = 1 :

P(1) = 2(1)² + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0.

Puisque le numérateur et le dénominateur sont tous deux 0 en x = 1, nous devons factoriser le numérateur :

2x² + 3x - 5 = (x - 1)(2x + 5).

Donc, f(x) = [(x - 1)(2x + 5)] / (x - 1).

Pour x ≠ 1, f(x) = 2x + 5.

Parce que le facteur (x-1) s'annule, il n'y a pas d'asymptote verticale en x = 1. Au lieu de cela, il y a un trou dans le graphique en x = 1. La coordonnée y du trou est 2(1) + 5 = 7.

Asymptote horizontale

Le degré du numérateur (2) est supérieur au degré du dénominateur (1). Par conséquent, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Asymptote oblique

Puisque le degré du numérateur est exactement supérieur d'un au degré du dénominateur, nous effectuons une division polynomiale longue de (2x² + 3x - 5) par (x - 1).

La division donne un quotient de 2x + 5 et un reste de 0.

Donc, f(x) = 2x + 5, pour x ≠ 1.

Dans ce cas particulier, parce que le reste est zéro, la fonction elle-même se simplifie en la droite y = 2x + 5 (avec un trou en x=1). Cette droite est le graphique de la fonction, plutôt qu'une droite que la fonction approche asymptotiquement. (Pour une asymptote oblique typique, la division polynomiale donnerait un quotient linéaire mx+b et un reste non nul R(x), donc f(x) = mx + b + R(x)/Q(x), où R(x)/Q(x) s'approche de 0 lorsque x s'approche de ±∞. Alors, y = mx + b serait l'asymptote oblique.)