Capítulo 1/2

Definición de un Vector

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Definición Básica

Un vector es un objeto matemático determinado por dirección y magnitud (longitud). Se utiliza para describir una cantidad dirigida, lo que significa que, además de un valor (longitud), también contiene información sobre la dirección en la que actúa. En un plano o en el espacio, un vector a menudo se representa como un segmento de línea dirigido con una punta de flecha. Desde un punto de vista matemático, un vector se define como un par ordenado (en un plano) o una terna ordenada (en el espacio) de números reales, que representan las coordenadas de su orientación con respecto a un origen.

  • En un plano, lo denotamos como v = (x, y).

  • En el espacio, como v = (x, y, z). Aquí, x, y y z son los componentes del vector.

Componentes de un Vector

  • PUNTO INICIAL: (desde donde se origina el vector, si representa el desplazamiento entre dos puntos específicos).

  • PUNTO TERMINAL: (hacia donde apunta el vector, si representa un desplazamiento).

  • COMPONENTES: Si un vector representa el desplazamiento desde el punto A(x₁, y₁, z₁) hasta el punto B(x₂, y₂, z₂), sus componentes son (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). A menudo, los vectores se consideran desde el origen (0,0,0), en cuyo caso sus componentes son las coordenadas de su punto terminal.

  • MAGNITUD (también norma o longitud), denotada por |v|. La magnitud de un vector v = (x, y) en un plano se calcula como: |v| = √(x² + y²) Y para un vector v = (x, y, z) en el espacio: |v| = √(x² + y² + z²)

Ejemplo de Cálculo

Sea el vector a = (3, 4). Su magnitud se calcula como: |a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Esto significa que el vector a tiene una magnitud de 5 unidades y, si parte del origen, está dirigido hacia el punto (3, 4).

Conclusión

Este objeto matemático es fundamental para describir la dirección y la magnitud en muchas construcciones geométricas y algebraicas. Está compuesto por componentes a lo largo de cada eje de coordenadas, lo que permite manejarlo en un plano o en el espacio utilizando operaciones aritméticas estándar como la suma, la multiplicación por un escalar y el cálculo de su longitud.