Integrali

Nedoločeni integral

Nedoločeni integral funkcije $f$ je družina funkcij $F$, za katere velja $F'(x) = f(x)$. Pišemo:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

kjer je $C$ poljubna konstanta.

Določeni integral

Določeni integral $\int_a^b f(x)\,dx$ predstavlja usmerjeno ploščino med grafom funkcije in osjo $x$ na intervalu $[a,b]$. Po osnovnem izreku analize:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Osnovna pravila integriranja

• Integral vsote je vsota integralov.
• Konstanto lahko potegnemo pred integral.
• Potenčno pravilo: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ za $n \neq -1$.
• Integracija po delih in substitucija razširita nabor rešljivih integralov.

Uporaba

Integrale uporabljamo v fiziki (delo, energija), ekonomiji (potrošnikova renta) in verjetnosti (gostote). So temelj modeliranja zveznih procesov.

Zaključek

Obvladovanje integralov — nedoločenih in določenih — je ključno za analizo, fiziko in tehnične vede.