Funciones Trigonométricas

Definición y Conexión con el Círculo Unitario

Las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo que calculan razones entre los lados de un triángulo rectángulo o valores de coordenadas en el círculo unitario. Se definen para ángulos reales (en radianes o grados) y se repiten periódicamente. Las funciones trigonométricas básicas son:

• seno (sin)

• coseno (cos)

• tangente (tan)

• cotangente (cot) Las cuatro están definidas para diferentes conjuntos de valores de ángulos, con la tangente y la cotangente teniendo puntos específicos donde no están definidas (donde ocurre una división por cero).

Definición Geométrica

En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α:

• sin α = cateto opuesto / hipotenusa

• cos α = cateto adyacente / hipotenusa

• tan α = cateto opuesto / cateto adyacente

• cot α = cateto adyacente / cateto opuesto Estas definiciones son válidas para ángulos entre 0° y 90° o 0 y π/2 radianes. Para valores más amplios, las funciones trigonométricas se definen utilizando el círculo unitario.

Círculo Unitario

En el círculo unitario (radio = 1), para un ángulo α:

• Un punto en el círculo tiene coordenadas (cos α, sin α).

• tan α = sin α / cos α, si cos α ≠ 0.

• cot α = cos α / sin α, si sin α ≠ 0. Las funciones están definidas para todos los ángulos reales, excepto en los puntos donde ocurre una división por cero.

Propiedades Básicas

• sin α y cos α están acotadas entre –1 y 1.

• tan α y cot α no están acotadas.

• sin α es una función impar (sin(-α) = -sin(α)), cos α es una función par (cos(-α) = cos(α)).

• Las funciones son periódicas:

• • seno y coseno: período 2π

• tangente y cotangente: período π

Valores para Ángulos Notables

Para los ángulos 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), los valores son conocidos y se utilizan con frecuencia:

• sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2

• sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2

• sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2 A partir de estos, se pueden calcular la tangente y la cotangente donde estén definidas.

Identidades Trigonométricas

• IDENTIDAD PITAGÓRICA: sin² α + cos² α = 1

• TANGENTE Y SENO/COSENO: tan α = sin α / cos α

• COTANGENTE Y COSENO/SENO: cot α = cos α / sin α

• PROPIEDADES DE SIMETRÍA: sin(–α) = –sin α, cos(–α) = cos α

Conclusión

Las funciones trigonométricas describen las razones básicas entre los lados de un triángulo rectángulo o los valores en el círculo unitario. Son periódicas, continuas (excepto donde no están definidas) y fundamentales para el análisis trigonométrico. Su comportamiento está determinado con precisión por la simetría, las identidades y su conexión con el sistema de coordenadas.