El Máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo · Explicación

MCD y MCM (Ejercicio)

5 min

Definición del Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más enteros es el mayor entero que los divide a todos sin dejar resto.

Definición del Mínimo Común Múltiplo (mcm)

El Mínimo Común Múltiplo (mcm) de dos o más enteros es el entero positivo más pequeño que es divisible por todos estos números.

Métodos para Calcular MCD y mcm

Existen varios métodos para calcular el Máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo. Entre ellos, los más conocidos son:

  • El algoritmo de Euclides para el Máximo Común Divisor.

  • Usar la factorización en primos tanto para el MCD como para el mcm.

  • Usar la regla fundamental de que el Mínimo Común Múltiplo es igual al producto de los números dividido por su Máximo Común Divisor: mcm(a, b) = (|a × b|) / MCD(a, b).

Problema de Ejemplo

Calculemos el Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (mcm) para los números 18 y 12.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD):

Primero, encontramos la factorización en primos de los números:

  • 18 = 2 × 3²

  • 12 = 2² × 3 Los factores primos comunes son 2 y 3. El Máximo Común Divisor es el producto de las potencias más bajas de estos factores primos comunes: MCD(18, 12) = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm):

  • Método 1: Usando el producto y el MCD Primero, calcula el producto de los números: 18 × 12 = 216. Luego, calcula el mcm como el producto de los números dividido por su MCD: mcm(18, 12) = 216 / 6 = 36.

  • Método 2: Usando la factorización en primos El Mínimo Común Múltiplo es el producto de las potencias más altas de todos los factores primos presentes en cualquiera de los números: Los factores primos involucrados son 2 y 3. La potencia más alta de 2 es 2² (de 12). La potencia más alta de 3 es 3² (de 18). mcm(18, 12) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.