Chapitre 3/5

Introduction aux Polynômes

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Définition et forme

Un polynôme est une expression algébrique composée de la somme ou de la différence de termes, dans laquelle l'inconnue x (ou une autre variable) apparaît avec des exposants entiers non négatifs, multipliés par des coefficients d'un certain ensemble de nombres (le plus souvent ℝ - nombres réels). La forme générale d'un polynôme de degré n est :

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀, où a₀, a₁, …, aₙ ∈ ℝ, aₙ ≠ 0, et n ∈ ℕ₀ (n est un entier non négatif).

Chaque partie de la forme aₖxᵏ est appelée un terme du polynôme, où :

  • aₖ est le coefficient,

  • xᵏ est une puissance de la variable,

  • k est un nombre naturel ou 0 (un entier non négatif).

Degré d'un polynôme

Le degré (notation deg P) est l'exposant le plus élevé auquel le coefficient est différent de zéro. Par exemple : P(x) = 4x³ - 2x + 7 → deg P = 3.

Types de polynômes selon le degré

  • POLYNÔME CONSTANT : degré 0, par exemple, P(x) = 5 (peut être écrit comme 5x⁰)

  • POLYNÔME LINÉAIRE : degré 1, par exemple, P(x) = 2x - 1

  • POLYNÔME QUADRATIQUE : degré 2, par exemple, P(x) = x² + 3x + 2

  • POLYNÔME CUBIQUE : degré 3, par exemple, P(x) = x³ - x

  • POLYNÔMES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS : n > 3

Opérations de base avec les polynômes

  • ADDITION ET SOUSTRACTION - Combiner les termes semblables (terme par terme).

  • MULTIPLICATION - Multiplier les termes en utilisant la distributivité.

  • DIVISION - Par un processus similaire à la division longue des nombres.

  • DIFFÉRENTIATION - En mathématiques supérieures (par exemple, P′(x), la dérivée).

  • ÉVALUATION DU POLYNÔME - Calculer P(x₀) pour un x₀ spécifique.

Exemple de polynôme

Soit le polynôme donné : P(x) = 2x⁴ - 5x² + 3x - 7

  • Degré : 4

  • Coefficient dominant : 2

  • Terme constant : -7

  • Valeur à x=1 : P(1) = 2*(1)⁴ - 5*(1)² + 3*(1) - 7 = 2 - 5 + 3 - 7 = -7

Conclusion

Les polynômes sont des expressions algébriques fondamentales qui permettent l'écriture et la manipulation de nombreuses fonctions et équations mathématiques. Leur structure est claire, les opérations avec eux sont systématiques, et par conséquent ils forment la base pour résoudre des équations, modéliser et analyser mathématiquement dans de nombreux chapitres des mathématiques.