Definición y Forma

Una función potencial es una función de la forma f(x) = x^n, donde 'n' es cualquier número real. El exponente 'n' determina las propiedades de la función: su dominio, rango, el curso de su gráfica, así como su simetría y monotonía. Las funciones potenciales incluyen números naturales, así como números negativos y racionales en el exponente. Dependiendo del valor del exponente 'n', distinguimos varios casos con formas y comportamientos característicos de la función.

Ejemplos según el Exponente

n ∈ ℕ (NÚMEROS NATURALES)

f(x) = x² – es una parábola, una función par, su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
f(x) = x³ – es una función impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen.
f(x) = x (para n=1) – es una función lineal, la función identidad.

n < 0 (NÚMEROS NEGATIVOS)

f(x) = x⁻¹ = 1/x – una función racional con asíntotas (x ≠ 0), es una función impar.
f(x) = x⁻² = 1/x² – es positiva para todo x ≠ 0, una función par.

n = 0

f(x) = x⁰ = 1 para x ≠ 0 – una función constante (generalmente definida como f(x) = 1).

n ∈ ℚ (NÚMEROS RACIONALES)

f(x) = x¹ᐟ² = √x (raíz cuadrada de x) – definida solo para x ≥ 0, creciente, no es ni par ni impar.
f(x) = x¹ᐟ³ = ∛x (raíz cúbica de x) – definida en ℝ (todos los números reales), es una función impar.

Propiedades basadas en el Exponente

Si 'n' es un entero impar, la función es impar: se cumple que f(–x) = –f(x).
Si 'n' es un entero par, la función es par: se cumple que f(–x) = f(x).
Si n < 0, la función tiene asíntotas, y a menudo no está definida para x = 0.
Si 'n' es racional (como una fracción m/k), la función está definida solo donde la raíz k-ésima está definida (por ejemplo, √x solo para x ≥ 0).

Dominio y Rango

Estos dependen del exponente:

f(x) = x^n, n ∈ ℕ → Dominio (Df) = ℝ, Rango (Rf) = ℝ (si n es impar), Rf = [0, ∞) (si n es par y positivo)
f(x) = x⁻¹ → Df = ℝ \ {0}, Rf = ℝ \ {0} (números reales excepto el 0)
f(x) = √x → Df = [0, ∞), Rf = [0, ∞)

Ejemplo

Sea f(x) = x³.

Df = ℝ, Rf = ℝ.
f(–2) = –8, f(2) = 8 → la función es impar.
La gráfica pasa por el origen y es creciente en todo su dominio.

Conclusión

La función potencial es una de las familias básicas de funciones. Su forma y propiedades dependen directamente del exponente. Con ellas, estudiamos diferentes tipos de crecimiento, simetría y el comportamiento de la función en sus dominios. Debido a su estructura simple y su diversidad según los valores de 'n', esta función ocupa un lugar importante en el análisis matemático.