--- title: Wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu - metody i wzory description: "Wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu: rozkład na czynniki albo próba kandydatów." url: https://astra-ai.co/pl/videos/wielomiany/wyznaczanie-miejsc-zerowych-wielomianu/ locale: pl type: video-chapter keywords: - miejsc zerowych wielomianu - pierwiastki wymierne - rozkład - kandydaci published: 2026-10-01T09:50:38.691Z updated: 2026-10-04T22:46:39.083Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/polinomi/namirane-na-nuli-na-polinom/ br: https://astra-ai.co/br/videos/polinomios/capitulo-matematica-026/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/polynomy/hledani-nul-polynomu/ da: https://astra-ai.co/da/videos/polynomier/bestemmelse-af-polynomiets-nulpunkter/ de: https://astra-ai.co/de/videos/polynome/nullstellen-von-polynomen-finden/ el: https://astra-ai.co/el/videos/polyonima/eyresi-rizon-polyonymou/ en: https://astra-ai.co/videos/polynomials/finding-zeros-of-a-polynomial/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/polynomials/chapter-af1c1b9d/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/polynomials/chapter-af1c1b9d/ es: https://astra-ai.co/es/videos/polinomios/ceros-de-un-polinomio-1/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/polinomios/capitulo-20/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/polinomios/capitulo-20/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/polinomios/capitulo-video-af1c1b9d/ et: https://astra-ai.co/et/videos/polunoomid/polunoomi-nullkohtade-leidmine/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/polynomit/polynomin-nollakohtien-etsiminen/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/polynomes/trouver-les-zeros-dun-polynome/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/polinomi/trazenje-nula-polinoma/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/polinomok/polinom-zerushelyeinek-meghatarozasa/ id: https://astra-ai.co/id/videos/polinom/menentukan-nol-polinom/ it: https://astra-ai.co/it/videos/polinomi/trovare-zeri-polinomio/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/polynomials-ja/ja-chapter-20/ km: https://astra-ai.co/km/videos/polynomials/chapter-af1c1b9d/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/polynomials-ko/20/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-polynomials/lo-af1c1b9d/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/polinomai/polinomo-saknu-radimas/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/polinomi/polinoma-saknu-atrasana/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/polynomials/bab-26-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/polinomial/bab-matematik-20/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/polinomios/capitulo-20/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-polynomials/my-af1c1b9d/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/veeltermen/nulpunten-van-een-polynoom-vinden/ no: https://astra-ai.co/no/videos/polynomer/finne-nullpunkter-til-et-polynom/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/wielomiany/wyznaczanie-miejsc-zerowych-wielomianu/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/polinomios/encontrando-os-zeros-de-um-polinomio/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/polinomios/capitulo-de-video-020/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/polinoame/determinarea-radacinilor-unui-polinom/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/polynomy/kapitola-020/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/polinomi/iskanje-nicel-polinoma/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/polinomi/poglavlje-020/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/polynom/bestamning-av-polynoms-nollstallen/ th: https://astra-ai.co/th/videos/phahunam/bot-26-harang-phahunam/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/polinomlar/bolum-020/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/polynomials-uk/uk-chapter-26/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-01/vi-chapter-26/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-001/shuxue-zhang-026/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/polynomials/chapter-af1c1b9d/ --- # Wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu > Wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu polega na rozkładzie albo próbie kandydatów. Ten rozdział używa twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. ## Wprowadzenie i cel Znajdowanie miejsc zerowych wielomianu oznacza rozwiązanie równania P(x) = 0, gdzie P(x) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych lub wymiernych. Celem jest określenie wszystkich wartości x, dla których wielomian ma wartość 0. Te wartości są kluczowe dla rozkładu na czynniki, reprezentacji graficznej i dalszych procedur algebraicznych, takich jak dzielenie i upraszczanie wyrażeń. Wielomian stopnia 'n' ma co najwyżej 'n' rzeczywistych lub zespolonych miejsc zerowych, licząc krotności. ## Metody wyznaczania miejsc zerowych ## 1. Wyłączanie największego wspólnego czynnika (NWC) Jeśli wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik, najpierw wyłącz go przed nawias, aby uprościć wielomian. Przykład: P(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1), zatem miejsca zerowe: x = 0 (z krotnością 2), x = 1. ## 2. Rozkład wielomianu na czynniki Jeśli wielomian można przepisać jako iloczyn czynników niższego stopnia, miejsca zerowe można znaleźć z każdego czynnika. Przykład: P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1), zatem miejsca zerowe: x = 2, x = -3, x = 1. ## 3. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dla wielomianów o współczynnikach całkowitych) Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wymierne miejsca zerowe, są one postaci: x = ±p/q, gdzie 'p' jest dzielnikiem wyrazu wolnego (a\_0), a 'q' jest dzielnikiem współczynnika wiodącego (a\_n). Przykład: P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. Możliwe wymierne miejsca zerowe (dzielniki 6 podzielone przez dzielniki 1): ±1, ±2, ±3, ±6. Testując: P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, zatem x = 1 jest miejscem zerowym. ## 4. Schemat Hornera (dzielenie syntetyczne) Gdy jedno miejsce zerowe 'c' jest znane, wielomian można podzielić przez (x - c) za pomocą schematu Hornera (lub dzielenia syntetycznego), aby znaleźć pozostały iloraz, którego miejsc zerowych można następnie szukać. Przykład: P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Testuj P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, zatem x = 1 jest miejscem zerowym. Podziel P(x) przez (x - 1): Iloraz wynosi x^2 - 5x + 6. Rozkładając trójmian kwadratowy: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), zatem miejsca zerowe ilorazu to x = 2, x = 3. Końcowe miejsca zerowe: x = 1, x = 2, x = 3. ## 5. Wzory dla szczególnych przypadków WIELOMIAN KWADRATOWY: P(x) = ax^2 + bx + c, miejsca zerowe za pomocą wzoru: x = (-b ± Pierwiastek(b^2 - 4ac)) / 2a WIELOMIANY SZEŚCIENNE LUB WYŻSZEGO STOPNIA: Jeśli rozkład na czynniki lub twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie są proste, mogą być wymagane metody numeryczne lub bardziej zaawansowane techniki. ## 6. Metoda graficzna Miejsca zerowe można również aproksymować, patrząc na wykres funkcji f(x) = P(x) - punkty, w których wykres przecina oś x, odpowiadają rzeczywistym miejscom zerowym. ## Podsumowanie Znajdowanie miejsc zerowych wielomianu to systematyczny proces oparty na rozkładzie na czynniki, testowaniu wartości wymiernych, dzieleniu i używaniu znanych wzorów. Znajomość metod wyznaczania miejsc zerowych pozwala na zrozumienie struktury wielomianu, jego rozkładu na czynniki i przygotowania do rozwiązywania bardziej złożonych równań.