--- title: Iloczyn skalarny (iloczyn kropkowy) - wzór i przykłady description: Iloczyn skalarny dwóch wektorów mierzy kąt i długości. Wzór i znaczenie geometryczne. url: https://astra-ai.co/pl/videos/wektory/iloczyn-skalarny-iloczyn-kropkowy/ locale: pl type: video-chapter keywords: - iloczyn skalarny - wektory - kąt - długość published: 2026-10-01T09:51:00.811Z updated: 2026-10-04T22:46:03.140Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/vektori/skalarno-proizvedenie/ br: https://astra-ai.co/br/videos/vetores/capitulo-matematica-051/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/vektory/skalarni-soucin/ da: https://astra-ai.co/da/videos/vektorer/skalarprodukt/ de: https://astra-ai.co/de/videos/vektoren/skalarprodukt/ el: https://astra-ai.co/el/videos/dianysmata/esoteriko-ginomeno/ en: https://astra-ai.co/videos/vectors/scalar-product-dot-product/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ es: https://astra-ai.co/es/videos/vectores/producto-escalar/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/vectores/capitulo-45/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/vectores/capitulo-45/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/vectores/capitulo-video-b29e1ae1/ et: https://astra-ai.co/et/videos/vektorid/skalaar-ehk-punktkorrutis/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/vektorit/pistetulo/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/vecteurs/produit-scalaire/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/vektori/skalarni-produkt/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/vektorok/skalaris-szorzat/ id: https://astra-ai.co/id/videos/vektor/perkalian-skalar/ it: https://astra-ai.co/it/videos/vettori/prodotto-scalare/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/vectors-ja/45/ km: https://astra-ai.co/km/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/vectors-ko/45/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-2f8d29f0/lo-b29e1ae1/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/vektoriai/skaliarine-sandauga/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/vektori/skalarais-reizinajums/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/vektor/bab-51-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/vektor/bab-b29e1ae1/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/vectores/capitulo-45/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-2f8d29f0/my-b29e1ae1/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/vectoren/scalair-product/ no: https://astra-ai.co/no/videos/vektorer/skalarprodukt-prikkprodukt/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/wektory/iloczyn-skalarny-iloczyn-kropkowy/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/vetores/produto-escalar/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/vetores/capitulo-de-video-045/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/vectori/produs-scalar-produsul-scalar/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/vektory/kapitola-045/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/vektorji/skalarni-produkt/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/vektori/poglavlje-045/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/vektorer/skalarprodukt-punktprodukt/ th: https://astra-ai.co/th/videos/wektor/bot-51-phon-khun-sakel/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/vektorler/bolum-045/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-20/uk-chapter-51/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-20/vi-chapter-51/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-020/shuxue-zhang-051/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ --- # Iloczyn skalarny (iloczyn kropkowy) > Iloczyn skalarny dwóch wektorów mierzy kąt i długości. Ten rozdział podaje wzór i sens geometryczny. ## Podstawowa definicja Iloczyn skalarny (znany również jako iloczyn kropkowy) to algebraiczne działanie między dwoma wektorami, które zwraca liczbę rzeczywistą (skalar). W przeciwieństwie do iloczynu wektorowego (iloczynu krzyżowego), który zwraca nowy wektor, iloczyn skalarny wyraża relację dotyczącą kierunku dwóch wektorów. Jest używany do obliczania rzutu jednego wektora na drugi i do określania ortogonalności (prostopadłości). Dla wektorów a = (x\_1, y\_1, z\_1) i b = (x\_2, y\_2, z\_2) iloczyn skalarny jest zdefiniowany jako: a · b = x\_1_x\_2 + y\_1_y\_2 + z\_1\*z\_2 W płaszczyźnie (jeśli składowe z wynoszą 0) wzór upraszcza się do: a · b = x\_1_x\_2 + y\_1_y\_2 ## Interpretacja geometryczna Iloczyn skalarny można również wyrazić za pomocą wielkości (długości) wektorów i kąta między nimi: a · b = |a| \* |b| \* cos(fi), gdzie fi to kąt między wektorami a i b, a 0° <= fi <= 180° (lub 0 <= fi <= pi radianów). Z tego wynika: Jeśli a · b > 0, kąt między wektorami jest ostry (mniejszy niż 90°). Jeśli a · b < 0, kąt jest rozwarty (większy niż 90°). Jeśli a · b = 0 (i żaden wektor nie jest wektorem zerowym), wektory są prostopadłe (ortogonalne, kąt wynosi 90°). ## Przykład Niech dane będą wektory: a = (2, 1, -3), b = (-1, 4, 2) Iloczyn skalarny wynosi: a · b = 2\*(-1) + 1\*4 + (-3)\*2 = -2 + 4 - 6 = -4. Ponieważ wynik jest ujemny, kąt między wektorami jest rozwarty (większy niż 90°). ## Właściwości PRZEMIENNOŚĆ: a · b = b · a ROZDZIELNOŚĆ WZGLĘDEM DODAWANIA WEKTORÓW: a · (b + c) = a · b + a · c MNOŻENIE PRZEZ SKALAR: (ka) · b = a · (kb) = k(a · b) Jeśli przynajmniej jeden wektor jest wektorem zerowym, to ich iloczyn skalarny wynosi 0. Iloczyn skalarny wektora z wektorem jednostkowym zwraca rzut tego wektora na kierunek wektora jednostkowego (pomnożony przez wielkość oryginalnego wektora, jeśli to nie jest rzut wektora jednostkowego). Dokładniej, rzut wektora a na wektor b to ((a · b) / |b|^2) \* b. ## Podsumowanie Iloczyn skalarny jest ważnym działaniem w algebrze wektorowej, ponieważ łączy algebraiczne i geometryczne reprezentacje wektorów. Pozwala na sprawdzanie ortogonalności, obliczanie kątów i rzutów oraz służy jako fundament w wielu kontekstach geometrycznych i fizycznych.