--- title: Punkty stacjonarne i monotoniczność funkcji - krok po kroku description: Punkty stacjonarne, funkcje rosnące i malejące czyta się tam, gdzie pochodna jest zerem. url: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/punkty-stacjonarne-funkcje-rosnace-malejace/ locale: pl type: video-chapter keywords: - punkty stacjonarne - rosnące - malejące - pochodna zero published: 2026-10-01T09:48:05.400Z updated: 2026-10-04T22:46:54.238Z alternates: id: https://astra-ai.co/id/videos/turunan/titik-stasioner-fungsi-naik-dan-turun/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/la-derivee/points-stationnaires-et-sens-de-variation/ it: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/punti-stazionari-funzioni-crescenti-decrescenti/ de: https://astra-ai.co/de/videos/ableitungen/stationre-punkte-aufsteigend-absteigend/ es: https://astra-ai.co/es/videos/derivadas/puntos-estacionarios/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/odvodi/stacionarne-tocke/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/derivaatat/stationaariset-pisteet-seka-kasvavat-ja-vahenevat-funktiot/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/derivacije/stacionarne-tocke/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/derivadas/pontos-estacionarios/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/derivaten/stationaire-punten/ el: https://astra-ai.co/el/videos/paragogoi/stathera-simeia-kai-ayxouses-fthinouses-synartiseis/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-013/shuxue-zhang-038/ da: https://astra-ai.co/da/videos/differentialregning/stationaere-punkter-og-voksende-aftagende-funktioner/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/derivati/statsionarni-tochki/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/derivaty/stacionarni-body/ et: https://astra-ai.co/et/videos/tuletised/statsionaarsed-punktid-ning-kasvavad-ja-kahanevad-funktsioonid/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/derivatives-ja/32/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/derivaltak/stacionarius-pontok-novekvo-es-csokkeno-fuggvenyek/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-13/uk-chapter-38/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/derivacie/kapitola-032/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-13/vi-chapter-38/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/derivator/stationara-punkter-vaxande-och-avtagande-funktioner/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/derivatives-ko/32/ no: https://astra-ai.co/no/videos/deriverte/stasjon-re-punkter-voksende-avtakende-funksjoner/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/derivate/puncte-stationare-functii-crescatoare-descrescatoare/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/izvodi/poglavlje-032/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/isvestines/stacionarieji-taskai-didejanti-mazejanti-funkcija/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/atvasinajumi/stacionarie-punkti-augosa-dilstosa-funkcija/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/turevler/bolum-032/ km: https://astra-ai.co/km/videos/derivatives/chapter-3c240780/ th: https://astra-ai.co/th/videos/anuphan/bot-38-chut-ning-fangchan-phoem-lot/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/terbitan/bab-38-matematik-asas/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/derivatives/chapter-3c240780/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d351a5ea/lo-3c240780/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d351a5ea/my-3c240780/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/derivadas/capitulo-32/ br: https://astra-ai.co/br/videos/derivadas/capitulo-matematica-038/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/terbitan/bab-3c240780/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/derivadas/capitulo-32/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/derivatives/chapter-3c240780/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/derivadas/capitulo-32/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/derivadas/capitulo-video-3c240780/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/derivatives/chapter-3c240780/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/derivadas/capitulo-de-video-032/ en: https://astra-ai.co/videos/derivatives/stationary-points-increasing-decreasing-functions/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/punkty-stacjonarne-funkcje-rosnace-malejace/ --- # Punkty stacjonarne, funkcje rosnące/malejące > Punkty stacjonarne, funkcje rosnące i malejące czyta się tam, gdzie pochodna jest zerem. Ten rozdział odróżnia maksima i minima. ## Wprowadzenie do zachowania funkcji Aby zrozumieć zachowanie funkcji i określić jej kluczowe właściwości, używamy analizy jej pochodnej. Jedną z najważniejszych właściwości, które w ten sposób odkrywamy, jest to, gdzie funkcja jest rosnąca, gdzie jest malejąca i gdzie ma swoje wartości ekstremalne. Służą temu tak zwane punkty stacjonarne, które są określane za pomocą pierwszej pochodnej. ## Definicja punktów stacjonarnych Niech 'f' będzie funkcją różniczkowalną. Punkt x₀ jest stacjonarny, jeśli f'(x₀) = 0. W takim punkcie styczna do wykresu funkcji zmienia się z rosnącej na malejącą lub odwrotnie – lub pozostaje pozioma. Punkty stacjonarne mogą być: Minimum lokalne, jeśli funkcja w tym punkcie osiąga najmniejszą wartość w pewnym otoczeniu. Maksimum lokalne, jeśli osiąga największą wartość w otoczeniu. Punkt przegięcia (lub punkt siodłowy), jeśli kierunek funkcji się nie zmienia (np. pozostaje rosnąca), ale kształt wykresu (wklęsłość) zmienia się wokół tego punktu. (Uwaga: Punkty przegięcia są bardziej formalnie identyfikowane za pomocą drugiej pochodnej lub zmian wklęsłości, ale pozioma styczna w punkcie przegięcia oznacza f'(x)=0). ## Charakter rosnący i malejący funkcji Używając pochodnej, możemy również określić przedziały, gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca: Jeśli f'(x) > 0 dla wszystkich x w pewnym przedziale, to funkcja jest rosnąca w tym przedziale. Jeśli f'(x) < 0 dla wszystkich x w pewnym przedziale, funkcja jest malejąca w tym przedziale. Jeśli f'(x) = 0 w pojedynczych punktach, są to potencjalne punkty stacjonarne. Te informacje są często zbierane w tabeli znaków pochodnej, która pomaga w szkicowaniu wykresu funkcji. ## Przykład: funkcja f(x) = x³ - 3x² + 2 Najpierw znajdźmy pochodną: f'(x) = 3x² - 6x. Następnie rozwiązujemy równanie f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0, zatem x(3x - 6) = 0, czyli x = 0 lub x = 2. To są punkty stacjonarne. Następnie sprawdzamy znak pochodnej w przedziałach określonych przez te punkty: Dla x < 0: Wybieramy wartość testową, np. x = -1. f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0, zatem funkcja jest rosnąca. Dla 0 < x < 2: Wybieramy wartość testową, np. x = 1. f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0, zatem funkcja jest malejąca. Dla x > 2: Wybieramy wartość testową, np. x = 3. f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0, zatem funkcja jest ponownie rosnąca. Z tego wnioskujemy, że przy x = 0 jest maksimum lokalne, a przy x = 2 jest minimum lokalne. ## Podsumowanie Punkty stacjonarne są kluczowe w analizie funkcji, ponieważ wyznaczają miejsca, w których zmienia się kierunek wykresu. Używając pochodnej, określamy, gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca, co pozwala na precyzyjne zrozumienie jej zachowania i przebiegu.