--- title: Pochodne innych funkcji elementarnych - wzory i przykłady description: "Pochodne innych funkcji elementarnych mają stałe wzory: potęgi, sinus, wykładnicza i logarytm." url: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/pochodne-innych-funkcji-elementarnych/ locale: pl type: video-chapter keywords: - funkcji elementarnych - pochodne - potęga - sinus published: 2026-10-01T09:47:41.937Z updated: 2026-10-04T22:46:54.061Z alternates: it: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/derivate-altre-funzioni-elementari/ de: https://astra-ai.co/de/videos/ableitungen/ableitungen-anderer-elementarer-funktionen/ es: https://astra-ai.co/es/videos/derivadas/derivadas-de-funciones-elementales/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/la-derivee/derivees-des-fonctions-elementaires/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/pochodne-innych-funkcji-elementarnych/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/odvodi/odvodi-elementarnih-funkcij/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/derivaatat/muiden-alkeisfunktioiden-derivaatat/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/derivacije/derivacije-elementarnih-funkcija/ el: https://astra-ai.co/el/videos/paragogoi/paragogoi-allon-stoicheiodon-synartiseon/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/derivadas/derivadas-de-funcoes-elementares/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/derivaten/afgeleiden-van-andere-elementaire-functies/ da: https://astra-ai.co/da/videos/differentialregning/afledte-af-andre-elementaere-funktioner/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/derivati/proizvodni-na-elementarni-funktsii/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/derivaty/derivace-elementarnich-funkci/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/derivatives-ja/31/ id: https://astra-ai.co/id/videos/turunan/turunan-fungsi-elementer/ et: https://astra-ai.co/et/videos/tuletised/teiste-elementaarfunktsioonide-tuletised/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/derivaltak/elemi-fuggvenyek-derivaltjai/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-13/uk-chapter-37/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/derivacie/kapitola-031/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-13/vi-chapter-37/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d351a5ea/my-311c891c/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/derivadas/capitulo-31/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/derivatives-ko/31/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/derivator/derivator-av-andra-elementara-funktioner/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/derivate/derivatele-altor-functii-elementare/ no: https://astra-ai.co/no/videos/deriverte/deriverte-av-andre-element-re-funksjoner/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/izvodi/poglavlje-031/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/isvestines/kitu-elementariuju-funkciju-isvestines/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/atvasinajumi/citu-elementaro-funkciju-atvasinajumi/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/turevler/bolum-031/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/derivatives/chapter-311c891c/ th: https://astra-ai.co/th/videos/anuphan/bot-37-anuphan-fangchan-phuenthan/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/terbitan/bab-37-matematik-asas/ km: https://astra-ai.co/km/videos/derivatives/chapter-311c891c/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d351a5ea/lo-311c891c/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/derivadas/capitulo-31/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-013/shuxue-zhang-037/ br: https://astra-ai.co/br/videos/derivadas/capitulo-matematica-037/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/derivatives/chapter-311c891c/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/derivadas/capitulo-31/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/terbitan/bab-311c891c/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/derivadas/capitulo-video-311c891c/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/derivatives/chapter-311c891c/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/derivadas/capitulo-de-video-031/ en: https://astra-ai.co/videos/derivatives/derivatives-of-other-elementary-functions/ --- # Pochodne innych funkcji elementarnych > Pochodne innych funkcji elementarnych mają stałe wzory dla potęg, sinusa, funkcji wykładniczej i logarytmu. ## Wprowadzenie do szerszego zakresu funkcji W analizie matematycznej mamy do czynienia z kilkoma rodzajami funkcji podstawowych, które pojawiają się przy znajdowaniu pochodnych. Oprócz wielomianów ważne funkcje obejmują funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i ich formy odwrotne. Nazywane są one funkcjami elementarnymi, ponieważ reprezentują budulec większości bardziej złożonych wyrażeń. Każda z nich ma swoją własną regułę różniczkowania, opartą na matematycznych właściwościach funkcji. ## Funkcje wykładnicze Dla funkcji postaci f(x) = a^x, gdzie 'a' jest liczbą dodatnią różną od 1, pochodna jest dana jako: f'(x) = a^x \* ln(a). Szczególnym przypadkiem jest funkcja f(x) = e^x, gdzie e ≈ 2,718 (liczba Eulera), dla której: f'(x) = e^x. Ta funkcja pozostaje niezmieniona po zróżniczkowaniu. ## Funkcje logarytmiczne Funkcja f(x) = log\_a(x), gdzie a > 0 i a != 1, ma pochodną: f'(x) = 1 / (x \* ln(a)). Dla logarytmu naturalnego, tj. f(x) = ln(x), obowiązuje uproszczona reguła: f'(x) = 1 / x, ważna dla x > 0. Funkcje logarytmiczne nie są zdefiniowane dla ujemnych wartości x lub dla x = 0. ## Funkcje trygonometryczne Pochodne podstawowych funkcji trygonometrycznych to: d/dx (sin(x)) = cos(x) d/dx (cos(x)) = -sin(x) d/dx (tan(x)) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x), dla x != (2k + 1)π/2 (gdzie k jest liczbą całkowitą) d/dx (ctg(x)) = -1 / sin^2(x) = -csc^2(x), dla x != kπ (gdzie k jest liczbą całkowitą) Funkcje tangens i cotangens mają punkty, gdzie nie są zdefiniowane, więc ich pochodne tam nie istnieją. ## Odwrotne funkcje trygonometryczne Odwrotne funkcje trygonometryczne mają następujące pochodne: d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2), dla |x| < 1 d/dx (arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2), dla |x| < 1 d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2), dla wszystkich rzeczywistych x Te funkcje są używane podczas rozwiązywania problemów obejmujących złożenia funkcji lub gdy istnieje potrzeba odwrócenia wyrażeń trygonometrycznych. ## Podsumowanie Różne typy funkcji elementarnych wymagają znajomości ich specyficznych reguł różniczkowania. Każdy typ funkcji ma swoją przepisaną regułę, opartą na strukturze funkcji i jej dziedzinie. Zrozumienie tych reguł jest niezbędne dla bardziej złożonego traktowania wyrażeń w analizie matematycznej.