--- title: Nachylenie stycznej i prostej normalnej - pochodna funkcji description: Nachylenie stycznej i prostej normalnej odczytuje się z pochodnej w punkcie krzywej. url: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/nachylenie-stycznej-i-prostej-normalnej/ locale: pl type: video-chapter keywords: - nachylenie stycznej - prosta normalna - pochodna - punkt published: 2026-10-01T09:49:02.042Z updated: 2026-10-04T22:46:03.158Z alternates: vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-13/vi-chapter-01/ it: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/pendenza-tangente-retta-normale/ de: https://astra-ai.co/de/videos/ableitungen/richtungskoeffizient-von-tangente-und-normale/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/la-derivee/pente-de-la-tangente-et-de-la-normale/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/derivaatat/tangentin-ja-normaalin-kulmakerroin/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-13/uk-chapter-01/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/derivadas/inclinacao-da-tangente-e-normal/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/nachylenie-stycznej-i-prostej-normalnej/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/odvodi/naklon-tangente-in-normale/ es: https://astra-ai.co/es/videos/derivadas/recta-tangente-y-normal/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/derivacije/nagib-tangente-i-normale/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/derivaten/helling-van-raaklijn-en-normaal/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/derivati/naklon-na-dopiratelnata-i-normalata/ da: https://astra-ai.co/da/videos/differentialregning/tangentens-og-normalens-haeldning/ el: https://astra-ai.co/el/videos/paragogoi/klisi-efaptomenis-kai-kathetis/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/derivaty/sklon-tecny-a-normaly/ id: https://astra-ai.co/id/videos/turunan/kemiringan-garis-singgung-dan-normal/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/derivaltak/az-erinto-es-a-normalis-meredeksege/ et: https://astra-ai.co/et/videos/tuletised/puutuja-ja-normaaljoone-tous/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/derivacie/kapitola-001/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/derivator/lutningen-pa-tangenten-och-normalen/ no: https://astra-ai.co/no/videos/deriverte/stigningstallet-til-tangent-og-normallinjen/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/derivate/panta-tangentei-si-a-normalei/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/atvasinajumi/pieskares-un-normalas-taisnes-slipums/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/izvodi/poglavlje-001/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/isvestines/liestines-ir-normalios-tieses-nuolydis/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/derivatives/chapter-558fe561/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/turevler/bolum-001/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d351a5ea/my-558fe561/ km: https://astra-ai.co/km/videos/derivatives/chapter-558fe561/ th: https://astra-ai.co/th/videos/anuphan/bot-01-khwam-chan/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/terbitan/bab-01-konsep-matematik/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d351a5ea/lo-558fe561/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/derivadas/capitulo-1/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-013/shuxue-zhang-001/ br: https://astra-ai.co/br/videos/derivadas/capitulo-matematica-001/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/derivatives/chapter-558fe561/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/derivadas/capitulo-1/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/derivadas/capitulo-1/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/terbitan/chapter-558fe561/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/derivadas/chapter-558fe561/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/derivadas/capitulo-video-558fe561/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/derivatives/chapter-558fe561/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/derivatives-ja/ja-chapter-01/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/derivatives-ko/01/ en: https://astra-ai.co/videos/derivatives/slope-of-tangent-and-normal-line/ --- # Nachylenie stycznej i prostej normalnej > Nachylenie stycznej i prostej normalnej odczytuje się z pochodnej. Ten rozdział liczy obie w danym punkcie. ## Podstawowe pojęcia analizy graficznej Podczas badania funkcji i ich wykresów często interesuje nas orientacja prostej, która "dotyka" wykresu w określonym punkcie. Ta prosta nazywana jest styczną. Prosta prostopadła do stycznej w tym samym punkcie nazywana jest prostą normalną. Obie proste są zdefiniowane przez swoje nachylenie (lub współczynnik kierunkowy), które mierzy nachylenie prostej względem osi poziomej. ## Nachylenie stycznej Styczna do wykresu funkcji w określonym punkcie to prosta, która dotyka wykresu w tym punkcie i ma takie samo nachylenie jak funkcja w tym punkcie. Nachylenie stycznej w punkcie x₀ jest równe wartości pochodnej funkcji f w x₀, zatem: k\_t = f'(x₀) (gdzie k\_t to nachylenie stycznej) Oznacza to, że jeśli mamy daną funkcję f i obliczymy jej pochodną, wartość pochodnej w wybranym punkcie daje nam nachylenie stycznej. ## Nachylenie prostej normalnej Prosta normalna to prosta, która przechodzi przez ten sam punkt co styczna, ale jest do niej prostopadła. Jeśli styczna jest rosnąca, prosta normalna jest malejąca i odwrotnie. Matematycznie nachylenie prostej normalnej jest dane przez: k\_n = -1 / f'(x₀), pod warunkiem że f'(x₀) != 0. (gdzie k\_n to nachylenie prostej normalnej) Zatem nachylenie prostej normalnej jest zdefiniowane tylko w punktach, gdzie styczna jest zdefiniowana, a jej nachylenie nie jest równe 0. Jeśli f'(x₀) = 0, to styczna jest pozioma, a prosta normalna jest pionowa (i nie ma zdefiniowanego nachylenia w postaci y=mx+b). ## Przykład: funkcja f(x) = x² w punkcie x = 1 Najpierw obliczamy pochodną: f'(x) = 2x. Przy x = 1 pochodna wynosi f'(1) = 2(1) = 2. Zatem nachylenie stycznej wynosi k\_t = 2. Nachylenie prostej normalnej wynosi: k\_n = -1 / 2. Punkt na wykresie to (1, f(1)) = (1, 1² ) = (1, 1). Równanie stycznej w punkcie (1, 1) to: y - y₁ = k\_t(x - x₁), czyli y - 1 = 2(x - 1), zatem y = 2x - 2 + 1, czyli y = 2x - 1. Równanie prostej normalnej w punkcie (1, 1) to: y - y₁ = k\_n(x - x₁), czyli y - 1 = (-1/2)(x - 1), zatem y = (-1/2)x + 1/2 + 1, czyli y = -0,5x + 1,5. ## Podsumowanie Nachylenie stycznej jest równe wartości pochodnej funkcji w określonym punkcie. Prosta normalna, będąc prostopadła do stycznej, ma nachylenie będące ujemną odwrotnością nachylenia stycznej, pod warunkiem że nachylenie stycznej istnieje i jest różne od zera. Oba nachylenia są kluczowe w opisywaniu lokalnej geometrii wykresu funkcji.