--- title: Ćwiczenia z pochodnych - 3 przykłady reguły potęgowej description: Pochodna - ćwiczenie 1. Ta wideolekcja wyjaśnia temat krok po kroku na przykładach. url: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/definicja-pochodnej/pochodna-cwiczenie-1/ locale: pl type: video-lesson keywords: - pochodna - nachylenie - granica - ćwiczenie published: 2026-10-01T09:53:50.237Z updated: 2026-10-04T23:23:58.847Z alternates: en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/derivatives/chapter-d3fc5af6/lesson-248756dd/ es: https://astra-ai.co/es/videos/derivadas/definicion-de-la-derivada/derivadas-ejercicio-1/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/definicja-pochodnej/pochodna-cwiczenie-1/ en: https://astra-ai.co/videos/derivatives/definition-of-the-derivative/derivatives-excercise-1/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/atvasinajumi/atvasinajuma-definicija/stunda-248756dd/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/la-derivee/definition-de-la-derivee/deriveexercice-1/ it: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/definizione-della-derivata/derivata-esercizio-1/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/terbitan/bab-50-matematik-asas/pelajaran-083/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/odvodi/definicija-odvoda/odvodi-vaja-1/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/derivacije/definicija-derivacije/derivacije-vjezba-1/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/derivaten/definitie-van-de-afgeleide/afgeleiden-oefening-1/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/derivadas/definicao-de-derivada/derivados-exercicio-1/ da: https://astra-ai.co/da/videos/differentialregning/definition-af-differentialkvotienten/differentialkvotienter-velse-1/ el: https://astra-ai.co/el/videos/paragogoi/orismos-tis-paragogou/derivatives-excercise-1/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/derivaty/definice-derivace/derivace-cviceni-1/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/derivaatat/derivaatan-maaritelma/derivaatat-harjoitus-1/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/derivati/definitsiya-na-derivatsiya/proizvodni-uprazhnenie-1/ et: https://astra-ai.co/et/videos/tuletised/tuletise-definitsioon/tuletised-harjutus-1/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/derivaltak/a-derivalt-definicioja/derivaltak-1-gyakorlas/ id: https://astra-ai.co/id/videos/turunan/definisi-turunan/turunan-latihan-1/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/derivatives/chapter-d3fc5af6/derivatives-excercise-1/ th: https://astra-ai.co/th/videos/anuphan/bot-50-niyam-anuphan/botrian-083/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/derivator/definition-av-derivatan/derivata-ovning-1/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/isvestines/isvestines-apibrezimas/pamoka-248756dd/ no: https://astra-ai.co/no/videos/deriverte/definisjonen-av-den-deriverte/derivasjon-velse-1/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/derivadas/capitulo-video-d3fc5af6/leccion-de-video-248756dd/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/derivate/definitia-derivatei/derivate-exercitiul-1/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-13/uk-chapter-50/uk-lesson-248756dd/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d351a5ea/lo-d3fc5af6/lesson-248756dd/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-13/vi-chapter-50/ao-ham-bai-tap-1/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/derivacie/kapitola-044/lekcia-083/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/izvodi/poglavlje-044/lekcija-083/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d351a5ea/my-d3fc5af6/lesson-248756dd/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/turevler/bolum-044/ders-083/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/derivatives/chapter-d3fc5af6/lesson-248756dd/ km: https://astra-ai.co/km/videos/derivatives/chapter-d3fc5af6/lesson-248756dd/ br: https://astra-ai.co/br/videos/derivadas/capitulo-matematica-050/video-matematica-083/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-013/shuxue-zhang-050/shuxue-kecheng-083/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/derivadas/capitulo-44/leccion-de-matematicas-83/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/derivadas/capitulo-44/leccion-de-matematicas-83/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/derivadas/capitulo-de-video-044/licao-de-video-083/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/terbitan/bab-d3fc5af6/pelajaran-248756dd/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/derivadas/capitulo-44/leccion-83/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/derivatives-ko/44/083/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/derivatives-ja/44/083/ de: https://astra-ai.co/de/videos/ableitungen/definition-der-ableitung/ableitung-aufgabe-1/ --- # Pochodna - ćwiczenie 1 > Pochodna - ćwiczenie 1. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady. Pochodna opisuje, jak funkcja zmienia się względem swojej zmiennej. Daje nachylenia stycznych, ekstrema (maksima i minima) oraz punkty przegięcia. Poniżej krótki przegląd idei i trzy przykłady krok po kroku z użyciem reguły potęgowej. ## Podstawowe pojęcia Pochodną f(x) w punkcie x definiujemy jako granicę średniej zmiany, gdy h dąży do 0: f'(x) = lim\_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h Ta definicja stanowi podstawę reguł różniczkowania. ## Reguły różniczkowania - Pochodna stałej: d/dx(c) = 0 - Reguła potęgowa: d/dx(x^n) = n\*x^(n-1) - Stały współczynnik: d/dx(k_x^n) = k_n\*x^(n-1) - Suma i różnica: różniczkujemy składnik po składniku - Reguła iloczynu: d/dx( f(x)\*g(x) ) = f'(x)\*g(x) + f(x)\*g'(x) - Reguła ilorazu: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)\*g(x) - f(x)\*g'(x) ) / ( g(x) )^2 - Reguła łańcuchowa: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))\*g'(x) ## Przykłady **Przykład 1** f(x) = x^-3. Dla n = -3: f'(x) = -3_x^(-3-1) = -3_x^-4 (Opcjonalnie) f'(x) = -3/(x^4), przy x != 0. **Przykład 2** f(x) = 3_x^8 + x^-2. Składnikowo:_ _d/dx(3_x^8) = 3_8_x^(8-1) = 24_x^7_ _d/dx(x^-2) = -2_x^(-2-1) = -2_x^-3_ _Razem: f'(x) = 24_x^7 - 2_x^-3_ _(Opcjonalnie) f'(x) = 24_x^7 - 2/(x^3), x != 0. **Przykład 3** f(x) = 3_x^4 - 5_x^3 + 2_x^2 + 6_x + 8. d/dx(3_x^4) = 12_x^3 d/dx(-5_x^3) = -15_x^2 d/dx(2_x^2) = 4_x d/dx(6_x) = 6_ _d/dx(8) = 0_ _Wynik: f'(x) = 12_x^3 - 15_x^2 + 4_x + 6 ## Zastosowania pochodnych Pochodne służą do wyznaczania chwilowych szybkości zmian, optymalizacji, analizy wklęsłości i punktów przegięcia oraz stanowią podstawę całek i równań różniczkowych. ## Podsumowanie Biegłość wynika z praktyki. Ściągnij wykładnik, odejmij 1, pilnuj znaków i pamiętaj: d/dx(x) = 1, d/dx(stała) = 0.