--- title: Wzory logarytmiczne - obliczanie i upraszczanie wyrażeń description: "Poznaj wzory logarytmiczne: reguła iloczynu, ilorazu, potęgi i pierwiastka. Dowiedz się o log_a(1), log_a(a) i zmianie podstawy logarytmu." url: https://astra-ai.co/pl/videos/logarytmy/wzory-obliczania-logarytmow/ locale: pl type: video-chapter published: 2026-10-01T09:46:57.124Z updated: 2026-10-01T09:46:57.124Z alternates: vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-17/vi-chapter-10/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-17/uk-chapter-10/ en: https://astra-ai.co/videos/logarithms/rules-for-calculating-logarithms/ es: https://astra-ai.co/es/videos/logaritmos/reglas-de-los-logaritmos/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/logaritmit/logaritmien-laskusaannot/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/logarithmes/regles-de-calcul-des-logarithmes/ it: https://astra-ai.co/it/videos/logaritmi/regole-calcolare-logaritmi/ de: https://astra-ai.co/de/videos/logarithmen/regeln-fur-die-berechnung-von-logarithmen/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/logarytmy/wzory-obliczania-logarytmow/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/logaritmi/pravila-racunanja-z-logaritmi/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/logaritmi/pravila-racunanja-s-logaritmima/ el: https://astra-ai.co/el/videos/logarithmoi/kanones-ypologismou-logarithmon/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/logaritmos/regras-de-calculo-com-logaritmos/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/logaritmen/rekenregels-met-logaritmen/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/logaritmi/pravila-za-presmyatane-s-logaritmi/ da: https://astra-ai.co/da/videos/logaritmer/regneregler-for-logaritmer/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/logaritmy/pravidla-vypoctu-s-logaritmy/ id: https://astra-ai.co/id/videos/logaritma/aturan-menghitung-logaritma/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/logaritmusok/logaritmusszamitas-szabalyai/ et: https://astra-ai.co/et/videos/logaritmid/logaritmide-arvutamise-reeglid/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/logarithms-ko/06/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/logaritmy/kapitola-006/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/logaritmer/regler-for-berakning-med-logaritmer/ no: https://astra-ai.co/no/videos/logaritmer/regler-for-beregning-av-logaritmer/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/logaritmi/reguli-de-calcul-al-logaritmilor/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/logaritma/bab-10-matematik-asas/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/logaritmi/poglavlje-006/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/logaritmai/logaritmu-skaiciavimo-taisykles/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/logaritmi/logaritmu-aprekinasanas-likumi/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/logarithms/chapter-1181c2a2/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/logaritmalar/bolum-006/ km: https://astra-ai.co/km/videos/logarithms/chapter-1181c2a2/ th: https://astra-ai.co/th/videos/lokarithuem/bot-10-kot-kan-khanan-lokarithuem/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d4a82fdb/lo-1181c2a2/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d4a82fdb/my-1181c2a2/ br: https://astra-ai.co/br/videos/logaritmos/capitulo-matematica-010/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/logaritmos/capitulo-6/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-017/shuxue-zhang-010/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/logaritmos/capitulo-6/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/logarithms/chapter-1181c2a2/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/logaritmos/capitulo-6/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/logaritmos/capitulo-video-1181c2a2/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/logaritmos/chapter-1181c2a2/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/logaritma/chapter-1181c2a2/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/logarithms/chapter-1181c2a2/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/logarithms-ja/ja-chapter-06/ --- # Wzory obliczania logarytmów ## Wprowadzenie do reguł obliczeniowych Logarytmy przekształcają mnożenie w dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a potęgowanie w mnożenie. Ze względu na te właściwości wzory logarytmiczne są kluczowe dla efektywnego upraszczania wyrażeń matematycznych. Używamy ich przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, wyrażaniu relacji wykładniczych i rozkładaniu złożonych wyrażeń. Wzory logarytmiczne opierają się na definicji logarytmu i właściwościach wyrażeń wykładniczych. ## Wzory obliczania logarytmów - REGUŁA ILOCZYNU: log\_a(x \* y) = log\_a(x) + log\_a(y). Logarytm iloczynu to suma logarytmów czynników. - REGUŁA ILORAZU: log\_a(x / y) = log\_a(x) - log\_a(y). Logarytm ilorazu to różnica logarytmów licznika i mianownika. - REGUŁA POTĘGI: log\_a(x^n) = n \* log\_a(x). Logarytm potęgi to wykładnik razy logarytm podstawy potęgi. - REGUŁA PIERWIASTKA (SZCZEGÓLNY PRZYPADEK REGUŁY POTĘGI): log\_a(Pierwiastek n-tego stopnia z x) = log\_a(x^(1/n)) = (1/n) \* log\_a(x). Pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym. Dla pierwiastka kwadratowego: log\_a(Pierwiastek(x)) = (1/2) \* log\_a(x). - LOGARYTM PODSTAWY: log\_a(a) = 1. Logarytm liczby równej jego podstawie jest zawsze równy 1 (ponieważ a^1 = a). - LOGARYTM JEDNOŚCI: log\_a(1) = 0. Ponieważ a^0 = 1 dla każdej prawidłowej podstawy a (a > 0, a != 1), wynika z tego, że log\_a(1) = 0. - WZÓR NA ZMIANĘ PODSTAWY (KONWERSJA MIĘDZY PODSTAWAMI): log\_a(x) = log\_b(x) / log\_b(a). Logarytm o dowolnej podstawie można wyrazić za pomocą logarytmów o innej podstawie. ## Przykłady użycia wzorów log\_2(8 \* 4) = log\_2(8) + log\_2(4) = 3 + 2 = 5 log\_10(100 / 10) = log\_10(100) - log\_10(10) = 2 - 1 = 1 log\_3(27^2) = 2 \* log\_3(27) = 2 \* 3 = 6 log\_4(Pierwiastek(16)) = (1/2) \* log\_4(16) = (1/2) \* 2 = 1 (używając Pierwiastek(16) = 16^(1/2)) ## Podsumowanie Wzory obliczania logarytmów pozwalają na przekształcanie i upraszczanie wyrażeń logarytmicznych. Używając tych praw, możemy szybko przełączać się między mnożeniem, dzieleniem i potęgowaniem w postaci logarytmicznej. Każdy wzór wynika z podstawowych charakterystyk funkcji wykładniczych, co nadaje logarytmom ważną rolę w łączeniu struktur liniowych i wykładniczych w matematyce.