--- title: Permutacje z powtórzeniami - wzór i obliczanie układów description: Permutacje z powtórzeniami. Ta wideolekcja wyjaśnia temat krok po kroku na przykładach. url: https://astra-ai.co/pl/videos/kombinatoryka/permutacje/permutacje-z-powtorzeniami/ locale: pl type: video-lesson keywords: - permutacje z powtórzeniami - kolejność - elementy - silnia published: 2026-10-01T10:00:37.125Z updated: 2026-10-04T23:23:21.641Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/kombinatorika/permutatsii/permutatsii-s-povtorenie/ br: https://astra-ai.co/br/videos/combinatoria/capitulo-matematica-004/video-matematica-055/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/kombinatorika/permutace/permutace-s-opakovanim/ da: https://astra-ai.co/da/videos/kombinatorik/permutationer/permutationer-med-gentagelse/ de: https://astra-ai.co/de/videos/kombinatorik/permutationen/permutationen-mit-wiederholung/ el: https://astra-ai.co/el/videos/syndyastiki/metatheseis/permutations-with-repetition/ en: https://astra-ai.co/videos/combinatorics/permutations/permutations-with-repetition/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/combinatorics/chapter-15458541/permutations-with-repetition/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/combinatorics/chapter-15458541/lesson-9de1b410/ es: https://astra-ai.co/es/videos/combinatoria/permutaciones/permutaciones-con-repeticion/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/combinatoria/capitulo-50/leccion-55/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/combinatoria/capitulo-50/leccion-de-matematicas-55/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/combinatoria/capitulo-video-15458541/leccion-de-video-9de1b410/ et: https://astra-ai.co/et/videos/kombinatoorika/permutatsioonid/permutatsioonid-kordustega/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/kombinatorikka/permutaatiot/permutaatiot-toistolla/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/combinatoire/permutations/permutations-avec-repetition/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/kombinatorika/permutacije/permutacije-s-ponavljanjem/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/kombinatorika/permutaciok/ismetleses-permutaciok/ id: https://astra-ai.co/id/videos/kombinatorika/permutasi/permutasi-dengan-pengulangan/ it: https://astra-ai.co/it/videos/combinatoria/permutazioni/permutazioni-con-ripetizione/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/combinatorics-ja/50/055/ km: https://astra-ai.co/km/videos/combinatorics/chapter-15458541/lesson-9de1b410/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/combinatorics-ko/50/055/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-dd33883f/lo-15458541/lo-9de1b410/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/kombinatorika/perrikiavimai/pamoka-9de1b410/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/kombinatorika/permutacijas/stunda-9de1b410/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/combinatorics/bab-04-matematik-asas/pelajaran-055/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/kombinatorik/bab-15458541/pelajaran-9de1b410/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/combinatoria/capitulo-50/leccion-55/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-dd33883f/my-15458541/my-9de1b410/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/combinatoriek/permutaties/permutaties-met-herhaling/ no: https://astra-ai.co/no/videos/kombinatorikk/permutasjoner/permutasjoner-med-repetisjon/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/kombinatoryka/permutacje/permutacje-z-powtorzeniami/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/combinatoria/permutacoes/permutacoes-com-repeticao/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/combinatoria/capitulo-de-video-050/licao-de-video-055/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/combinatorica/permutari/lectie-video-9de1b410/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/kombinatorika/kapitola-050/lekcia-055/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/kombinatorika/permutacije/permutacije-s-ponavljanjem/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/kombinatorika/poglavlje-050/lekcija-055/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/kombinatorik/permutationer/permutationer-med-repetition/ th: https://astra-ai.co/th/videos/combinatorics/bot-04-riang-sap-plian/botrian-055/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/kombinatorik/bolum-050/ders-055/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-05/uk-chapter-04/uk-lesson-9de1b410/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-05/vi-chapter-04/hoan-vi-co-lap/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-005/shuxue-zhang-004/shuxue-kecheng-055/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/combinatorics/chapter-15458541/lesson-9de1b410/ --- # Permutacje z powtórzeniami > Permutacje z powtórzeniami. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady. Permutacje z powtórzeniami są ważnym pojęciem w kombinatoryce, gałęzi matematyki zajmującej się zliczaniem i układaniem elementów. W przeciwieństwie do standardowych permutacji, gdzie każdy element w sekwencji pojawia się raz, permutacje z powtórzeniami pozwalają na wielokrotne pojawianie się identycznych elementów. ## Podstawowa koncepcja Permutacja to każdy możliwy układ lub sekwencja danego zbioru elementów. W permutacjach z powtórzeniami niektóre elementy w sekwencji mogą być identyczne. Na przykład przy zbiorze elementów A, B i C standardowe permutacje to ABC, ACB, BAC, BCA, CAB i CBA. Jednak jeśli powtórzenia są dozwolone, możemy również mieć permutacje takie jak AAB, BBA, CCA itp. Najczęstszy typ problemu dotyczy układania zbioru, w którym niektóre elementy są nierozróżnialne, takie jak litery w słowie "BOOK". ## Wzór Wzór na obliczanie liczby permutacji z powtórzeniami zależy od całkowitej liczby elementów i liczby powtórzeń każdego unikalnego elementu. Jeśli mamy łącznie n elementów, gdzie pierwszy element jest powtórzony a razy, drugi element jest powtórzony b razy i tak dalej, liczba różnych permutacji jest dana przez: P = n! / (a! \* b! \* ...). Tutaj n! (silnia n) jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych od 1 do n, a a!, b! itp. są silniami liczby powtórzeń dla każdego różnego elementu. ## Przykłady permutacji z powtórzeniami Przykład z literami: Ile różnych układów można utworzyć ze słowa BALON? Ma ono 5 liter w sumie (n=5). Żadna litera się nie powtarza. Liczba permutacji = 5! = 120. (Ale dla słowa angielskiego BALLOON z 7 literami (n=7), gdzie 'L' powtarza się dwa razy (a=2) i 'O' powtarza się dwa razy (b=2): Liczba permutacji = 7! / (2! \* 2!) = 5040 / (2 \* 2) = 1260). Przykład z liczbami: Ile różnych liczb można utworzyć przez ułożenie cyfr 1, 1 i 2? Jest 3 cyfry w sumie (n=3). Cyfra '1' jest powtórzona dwa razy (a=2). Liczba permutacji = 3! / 2! = 6 / 2 = 3. (Układy to 112, 121 i 211). ## Praktyczne zastosowania Ta koncepcja ma szerokie zastosowanie w matematyce, statystyce, informatyce i innych dziedzinach. Jest używana do rozwiązywania problemów obejmujących układy, gdzie niektóre elementy mogą się powtarzać, takich jak: Kodowanie i kryptografia: W tworzeniu i analizowaniu kodów i kluczy szyfrowania. Informatyka: W algorytmach do generowania i analizowania różnych kombinacji danych. Statystyka: W teorii prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń, gdzie powtórzenie jest możliwe. Genetyka: W analizowaniu możliwych kombinacji genetycznych. ## Podsumowanie Permutacje z powtórzeniami są fundamentalnym pojęciem w kombinatoryce, które pozwala matematykom i naukowcom dokładnie obliczyć liczbę możliwych układów w grupach, gdzie niektóre elementy są identyczne. Zrozumienie tej koncepcji jest ważne dla studentów i profesjonalistów zajmujących się matematyką, informatyką, statystyką i innymi pokrewnymi dyscyplinami. Te techniki są kluczowe dla rozwiązywania złożonych problemów w wielu zastosowaniach naukowych i praktycznych, od opracowywania algorytmów oprogramowania po zrozumienie złożonych wzorców biologicznych.