--- title: Wykres funkcji wymiernej - asymptoty i analiza przebiegu description: Wykres funkcji wymiernej pokazuje asymptoty, zera i zachowanie na krańcach dziedziny. url: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/wykres-funkcji-wymiernej/ locale: pl type: video-chapter keywords: - wykres funkcji wymiernej - asymptoty - zera - iloraz published: 2026-10-01T09:51:23.053Z updated: 2026-10-04T22:46:03.046Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/grafika-na-ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/capitulo-matematica-006/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/graf-racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/graf-for-en-rational-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/ el: https://astra-ai.co/el/videos/riti-synartisi/grafiki-parastasi-ritis-synartisis/ en: https://astra-ai.co/videos/rational-function/graph-of-a-rational-function/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ es: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/grafica-de-una-funcion-racional/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/funcion-racional/capitulo-video-bf9d9f6a/ et: https://astra-ai.co/et/videos/ratsionaalfunktsioon/ratsionaalfunktsiooni-graafik/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/rationaalifunktio/rationaalifunktion-kuvaaja/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/fonction-rationnelle/graphique-dune-fonction-rationnelle/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/racionalis-fuggveny/racionalis-fuggveny-grafikonja/ id: https://astra-ai.co/id/videos/fungsi-rasional/grafik-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/grafico-funzione-razionale/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/rational-function-ja/ja-chapter-02/ km: https://astra-ai.co/km/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/rational-function-ko/02/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-cb97549a/lo-bf9d9f6a/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/racionalioji-funkcija/racionaliosios-funkcijos-grafikas/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/racionala-funkcija/racionalas-funkcijas-grafiks/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/fungsi-nisbah/bab-06-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/fungsi-nisbah/chapter-bf9d9f6a/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/funcion-racional/capitulo-2/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-cb97549a/my-bf9d9f6a/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/rationele-functie/grafiek-van-een-rationale-functie/ no: https://astra-ai.co/no/videos/rasjonale-funksjoner/grafen-til-en-rasjonal-funksjon/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/wykres-funkcji-wymiernej/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/funcao-racional/grafico-de-uma-funcao-racional/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/funcao-racional/chapter-bf9d9f6a/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/functii-rationale/graficul-unei-functii-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/racionalna-funkcia/kapitola-002/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/racionalna-funkcija/poglavlje-002/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/rationella-funktioner/grafen-for-en-rationell-funktion/ th: https://astra-ai.co/th/videos/fangchan-trakka/bot-06-kraf-fangchan-trakka/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/rasyonel-fonksiyon/bolum-002/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-11/uk-chapter-06/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-11/vi-chapter-06/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-011/shuxue-zhang-006/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ --- # Wykres funkcji wymiernej > Wykres funkcji wymiernej pokazuje asymptoty i zera. Ten rozdział wyjaśnia, jak go narysować. Funkcja wymierna jest dana w postaci: f(x) = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) != 0. Jej wykres nie jest ciągłą krzywą jak w przypadku wielomianów, ale zawiera charakterystyczne przerwy, asymptoty, dziury i inne punkty szczególne. Celem wykresu jest pokazanie zachowania funkcji wokół jej miejsc zerowych i punktów, gdzie nie jest zdefiniowana. ## Kroki do narysowania wykresu funkcji wymiernej ## Określ dziedzinę (Df) Dziedzina Df obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, gdzie Q(x) = 0. Te punkty są wyłączone, ponieważ dzielenie przez zero nie jest dozwolone. Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2), zatem Q(x) = x - 2, czyli Df = R \ {2} (wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2) ## Uprość funkcję (jeśli to możliwe) Czasami licznik i mianownik można rozłożyć na czynniki i skrócić wspólne czynniki. Pamiętaj, że punkty odpowiadające skróconym czynnikom z mianownika nadal reprezentują dziury i nie są w dziedzinie. Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) = \[(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Brak wspólnych czynników do skrócenia tutaj). ## Wyznacz miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią x) funkcji Miejsca zerowe to rozwiązania równania P(x) = 0, pod warunkiem że Q(x) != 0 w tych punktach. Te punkty odpowiadają przecięciom z osią x. W powyższym przykładzie: P(x) = (x - 1)(x + 1), zatem miejsca zerowe: x = -1, x = 1. ## Wyznacz punkt przecięcia z osią y Podstaw x = 0, jeśli 0 należy do Df: Przykład: f(0) = (0^2 - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. Punkt przecięcia z osią y to (0, 0,5). ## Znajdź asymptoty pionowe Występują one przy wartościach x, gdzie Q(x) = 0 po uproszczeniu (tj. czynnik w mianowniku nie skrócił się z czynnikiem w liczniku), a P(x) != 0 przy tych wartościach x. W tych punktach funkcja dąży do ±nieskończoności, a wykres zbliża się do linii pionowej. Przykład: Dla f(x) = (x^2 - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2, zatem asymptota pionowa przy x = 2. ## Znajdź asymptoty poziome lub ukośne Są one określane przez porównanie stopni licznika P(x) i mianownika Q(x): Jeśli stopień P < stopień Q, to asymptota pozioma y = 0. Jeśli stopień P = stopień Q, to asymptota pozioma y = an/bn (stosunek współczynników wiodących). Jeśli stopień P > stopień Q: Jeśli stopień P = stopień Q + 1, to asymptota ukośna, znaleziona przez dzielenie wielomianów. Jeśli stopień P > stopień Q + 1, to brak asymptoty poziomej lub ukośnej (zachowanie jest wielomianowe). Przykład: f(x) = (2x^2 + 1) / (x^2 - 3), zatem stopień P = stopień Q = 2. Asymptota pozioma: y = 2/1 = 2. ## Zidentyfikuj dziury w wykresie (nieciągłości usuwalne) Jeśli czynnik (x - c) pojawia się zarówno w liczniku, jak i w mianowniku i można go skrócić, to w wykresie występuje dziura przy x = c. Funkcja nie jest zdefiniowana przy x=c, ale wykres zbliża się do punktu, który by istniał, gdyby funkcja była tam zdefiniowana. Przykład: f(x) = \[(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). To upraszcza się do f(x) = x + 2, dla x != 1. Wykres jest prostą z dziurą przy x = 1. Aby znaleźć współrzędną y dziury, podstaw x=1 do uproszczonego wyrażenia: y = 1 + 2 = 3. Dziura w (1, 3). ## Przeanalizuj zachowanie wokół asymptot i kluczowych punktów Po lewej i prawej stronie asymptoty pionowej funkcja często dąży do +nieskończoności lub -nieskończoności. Testuj punkty, aby określić kierunek. Dla dużych wartości |x| wykres funkcji "przylega" lub zbliża się do asymptoty poziomej lub ukośnej. Znak funkcji można określić w przedziałach między miejscami zerowymi a asymptotami pionowymi. ## Przykład pełnej analizy f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1) Uprość: f(x) = \[(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Brak wspólnych czynników) Dziedzina (Df): R \ {1} Miejsca zerowe: P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0, zatem x = -2, x = 2. Punkt przecięcia z osią y: f(0) = (0^2 - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Punkt (0, 4). Asymptota pionowa: Q(x) = x - 1 = 0, zatem x = 1. Asymptota pozioma/ukośna: Stopień P(x) wynosi 2, stopień Q(x) wynosi 1. Ponieważ stopień P = stopień Q + 1, istnieje asymptota ukośna. Wykonaj dzielenie wielomianów (x^2 - 4) przez (x - 1). Iloraz wynosi x + 1, a reszta -3. Zatem f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). Asymptota ukośna to y = x + 1. ## Podsumowanie Wykres funkcji wymiernej zawiera ważne informacje o miejscach zerowych, asymptotach, punktach przerwania (nieciągłościach) i zachowaniu funkcji dla dużych |x|. Staranna analiza licznika i mianownika pozwala na pełne graficzne zrozumienie funkcji. Szczególną uwagę należy zwrócić na asymptoty i dziury, ponieważ określają one główne cechy przebiegu wykresu.