--- title: Funkcja wymierna - definicja, asymptoty i miejsca zerowe description: Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów. Dziedzina, asymptoty i przebieg funkcji wyjaśnione krok po kroku. url: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/ locale: pl type: video-topic keywords: - funkcja wymierna - asymptoty - dziedzina - wyrażenia wymierne published: 2026-10-01T09:46:09.087Z updated: 2026-10-04T21:57:06.931Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/ el: https://astra-ai.co/el/videos/riti-synartisi/ en: https://astra-ai.co/videos/rational-function/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/rational-function/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/rational-function/ es: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/funcion-racional/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/funcion-racional/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/funcion-racional/ et: https://astra-ai.co/et/videos/ratsionaalfunktsioon/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/rationaalifunktio/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/fonction-rationnelle/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/racionalna-funkcija/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/racionalis-fuggveny/ id: https://astra-ai.co/id/videos/fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/rational-function-ja/ km: https://astra-ai.co/km/videos/rational-function/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/rational-function-ko/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-cb97549a/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/racionalioji-funkcija/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/racionala-funkcija/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/fungsi-nisbah/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/fungsi-nisbah/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/funcion-racional/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-cb97549a/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/rationele-functie/ no: https://astra-ai.co/no/videos/rasjonale-funksjoner/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/funcao-racional/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/funcao-racional/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/functii-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/racionalna-funkcia/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/racionalna-funkcija/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/racionalna-funkcija/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/rationella-funktioner/ th: https://astra-ai.co/th/videos/fangchan-trakka/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/rasyonel-fonksiyon/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-11/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-11/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-011/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/rational-function/ --- # Funkcja wymierna > Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów. Ten temat omawia dziedzinę, asymptoty i przebieg funkcji. Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów. Ogólna postać funkcji wymiernej to: f(x) = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) != 0. Te funkcje mają ważne charakterystyki, takie jak miejsca zerowe, asymptoty i punkty szczególne, które określają ich zachowanie na osi liczbowej. Funkcja wymierna jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych wartości x, dla których mianownik Q(x) jest równy 0. Na przykład, jeśli Q(x) = x - 3, to funkcja nie jest zdefiniowana dla x = 3. ## Miejsca zerowe funkcji Miejsca zerowe funkcji otrzymuje się przez rozwiązanie równania P(x) = 0 (zakładając, że Q(x) również nie jest zerem w tych punktach po uproszczeniu). Oznacza to, że miejsca zerowe to wartości x, dla których licznik funkcji staje się zerem. ## Asymptoty pionowe Asymptoty pionowe występują tam, gdzie mianownik Q(x) = 0 po skróceniu wszelkich wspólnych czynników z licznikiem P(x). Przy tych wartościach x funkcja jest niezdefiniowana, a jej wykres dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności. Na przykład, jeśli f(x) = 1 / (x - 2), to funkcja ma asymptotę pionową przy x = 2. ## Asymptoty poziome Asymptoty poziome zależą od stopni wielomianów w liczniku i mianowniku: Jeśli stopień licznika P(x) jest mniejszy niż stopień mianownika Q(x), asymptota pozioma znajduje się przy y = 0. Jeśli stopnie są równe, asymptota pozioma to stosunek współczynników wiodących wielomianów. Jeśli stopień licznika jest większy niż stopień mianownika, funkcja nie ma asymptoty poziomej. (Jeśli stopień P(x) jest dokładnie o jeden większy niż Q(x), istnieje asymptota ukośna.) ## Przykłady funkcji wymiernych ## Prosta funkcja wymierna: f(x) = 1 / x Dziedzina: x != 0 Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: y = 0 ## Bardziej złożona funkcja (przykład wymagający uproszczenia): f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) Tę funkcję można uprościć: f(x) = \[(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2, dla x != 2. Dziedzina: x != 2 (ponieważ pierwotny mianownik nie może być zerem). Nieciągłość: Istnieje "dziura" lub nieciągłość usuwalna przy x = 2, a nie asymptota pionowa, ponieważ czynnik (x-2) się skraca. Współrzędna y dziury wynosi 2+2=4. Asymptota pozioma: Ponieważ uproszczona funkcja jest liniowa (stopień licznika staje się faktycznie 1, stopień efektywnego mianownika wynosi 0 po skróceniu, lub rozważając oryginał, gdzie stopień licznika (2) jest większy niż stopień mianownika (1)), nie ma asymptoty poziomej. ## Podsumowanie Funkcje wymierne mają szerokie zastosowanie w matematyce, ponieważ pozwalają na analizę złożonych relacji między zmiennymi. Ich miejsca zerowe, asymptoty i dziedziny są kluczowymi elementami w badaniu ich wykresów i zachowania w różnych kontekstach matematycznych. Zrozumienie tych funkcji jest fundamentalne dla dalszych studiów w analizie i algebrze.