--- title: Całkowanie przez części - per partes - metoda i zastosowanie description: Całkowanie przez części - "per partes". Ta wideolekcja wyjaśnia temat krok po kroku na przykładach. url: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calkowanie-przez-czesci/calkowanie-przez-czesci-per-partes/ locale: pl type: video-lesson keywords: - całkowanie przez części - iloczyn - pierwotna - wzór published: 2026-10-01T09:56:11.268Z updated: 2026-10-04T23:23:59.383Z alternates: it: https://astra-ai.co/it/videos/integrali/integrazione-per-parti/integrazione-per-parti-per-partes/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/integrals/chapter-18b31615/lesson-585121f2/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calkowanie-przez-czesci/calkowanie-przez-czesci-per-partes/ en: https://astra-ai.co/videos/integrals/integration-by-parts/integration-by-parts-per-partes/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/integrales/integration-par-parties/integration-par-parties-per-partes/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/integrals/bab-45-matematik-asas/pelajaran-084/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/integrali/integracija-po-dijelovima/integracija-po-dijelovima-per-partes/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/integrali/integracija-po-delih/integracija-po-delih-per-partes/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/integralen/integratie-per-onderdeel/partiele-integratie-per-partes/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/integrais/integracao-por-partes/integracao-por-partes-por-partes/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/integraalit/osittaisintegrointi/osittaisintegrointi-per-partes/ da: https://astra-ai.co/da/videos/integraler/partiel-integration/partiel-integration-per-partes/ el: https://astra-ai.co/el/videos/olokliromata/oloklirosi-kata-meri/integration-by-parts-per-partes/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/integraly/integrace-po-castech/integrace-per-partes/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/kamiran/bab-18b31615/pelajaran-585121f2/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/integrali/integratsiya-po-chasti/integrirane-po-chasti-per-partes/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/integralok/parcialis-integralas/integralas-reszenkent-parcialis-integralas/ id: https://astra-ai.co/id/videos/integral/integrasi-parsial/integrasi-parsial/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/integrals/chapter-18b31615/integration-by-parts-per-partes/ th: https://astra-ai.co/th/videos/integrals/bot-45-inthikret-doi-suan/botrian-084/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/integraler/partiell-integration/partiell-integration-per-partes/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/integralai/integravimas-dalimis/pamoka-585121f2/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/integrales/capitulo-video-18b31615/leccion-de-video-585121f2/ no: https://astra-ai.co/no/videos/integraler/delvis-integrasjon/delvis-integrasjon-per-partes/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/integrale/integrare-prin-parti/integrarea-prin-parti-per-partes/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/integrali/integresana-pa-dalam/stunda-585121f2/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-02/uk-chapter-45/uk-lesson-585121f2/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-02/vi-chapter-45/tich-phan-tung-phan-per-partes/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/integraly/kapitola-039/lekcia-084/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/integrali/poglavlje-039/lekcija-084/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/integraller/bolum-039/ders-084/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-integrals/my-18b31615/585121f2/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-integrals/lo-18b31615/585121f2/ km: https://astra-ai.co/km/videos/integrals/chapter-18b31615/lesson-585121f2/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/integrals/chapter-18b31615/lesson-585121f2/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-002/shuxue-zhang-045/shuxue-kecheng-084/ br: https://astra-ai.co/br/videos/integrais/capitulo-matematica-045/video-matematica-084/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/integrales/capitulo-39/leccion-de-matematicas-84/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/integrales/capitulo-39/leccion-de-matematicas-84/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/integrais/capitulo-de-video-039/licao-de-video-084/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/integrales/capitulo-39/leccion-84/ et: https://astra-ai.co/et/videos/integraalid/ositi-integreerimine/ositi-integreerimine-per-partes/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/integrals-ja/39/084/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/integrals-ko/39/084/ de: https://astra-ai.co/de/videos/integralrechnung/partielle-integration-per-partes/integration-per-partes-produktintegration/ es: https://astra-ai.co/es/videos/integrales/integracion-por-partes/integracion-por-partes-explicacion/ --- # Całkowanie przez części - "per partes" > Całkowanie przez części - "per partes". Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady. Całkowanie przez części to jedna z fundamentalnych technik rachunku całkowego, która pozwala na rozwiązywanie całek, gdzie bezpośrednie całkowanie nie jest możliwe lub praktyczne. Ta metoda opiera się na regule iloczynu dla różniczkowania i oferuje efektywne podejście do całkowania iloczynów dwóch funkcji. ## Jak działa całkowanie przez części? Idea całkowania przez części wywodzi się ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji. W swej istocie metoda dzieli całkę na dwie części, pozwalając na łatwiejsze rozwiązanie. W tym procesie jedna funkcja jest wybierana do różniczkowania (aby zmniejszyć jej złożoność), a druga do całkowania. Przy prawidłowym wyborze funkcji procedura może być znacząco uproszczona. (Podstawowy wzór to Całka z u dv = uv - Całka z v du, gdzie całka iloczynu jest przekształcana). ## Wybór funkcji do całkowania przez części Kluczowego znaczenia przy używaniu tej techniki jest wybór, którą funkcję w iloczynie całkować (jako część 'dv'), a którą różniczkować (jako 'u'). Zazwyczaj funkcja wybrana do różniczkowania ('u') to ta, której pochodna jest prostsza niż oryginalna funkcja. Z drugiej strony całka drugiej funkcji (aby znaleźć 'v' z 'dv') musi być rozwiązywalna, aby metoda była użyteczna. (Mnemoniki takie jak LIATE mogą pomóc w kierowaniu tym wyborem). ## Znaczenie całkowania przez części Ta metoda jest niezwykle użyteczna do rozwiązywania szerokiego zakresu całek obejmujących wielomiany, funkcje wykładnicze, funkcje logarytmiczne i funkcje trygonometryczne. Całkowanie przez części jest fundamentalnym narzędziem w rachunku całkowym i jest często używane w zastosowaniach matematycznych i inżynieryjnych. ## Podsumowanie Całkowanie przez części to kluczowa technika w matematyce, która pozwala uczniom podejść do rozwiązywania bardziej złożonych całek w systematyczny i efektywny sposób. Zrozumienie i stosowanie tej metody otwiera drzwi do lepszego zrozumienia rachunku całkowego i jego zastosowań. Dzięki praktyce uczniowie mogą rozwinąć umiejętność używania całkowania przez części, co jest nieodzownym narzędziem w ich wiedzy matematycznej.