--- title: Całkowanie funkcji wymiernych - rozkład na ułamki proste description: Całkowanie funkcji wymiernych. Ta wideolekcja wyjaśnia temat krok po kroku na przykładach. url: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calka-nieoznaczona/calkowanie-funkcji-wymiernych/ locale: pl type: video-lesson keywords: - całkowanie funkcji wymiernych - ułamek - pierwotna - mianownik published: 2026-10-01T09:58:59.398Z updated: 2026-10-04T23:24:15.880Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/integrali/neopredelen-integral/integrirane-na-ratsionalni-funktsii/ br: https://astra-ai.co/br/videos/integrais/capitulo-matematica-007/video-matematica-093/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/integraly/neurcity-integral/integrace-racionalnich-funkci/ da: https://astra-ai.co/da/videos/integraler/ubestemt-integral/integration-af-rationale-funktioner/ de: https://astra-ai.co/de/videos/integralrechnung/unbestimmtes-integral/integration-rationaler-funktionen/ el: https://astra-ai.co/el/videos/olokliromata/aoristo-olokliroma/integration-of-rational-functions/ en: https://astra-ai.co/videos/integrals/indefinite-integral/integration-of-rational-functions/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/integration-of-rational-functions/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ es: https://astra-ai.co/es/videos/integrales/integral-indefinida/integracion-de-funciones-racionales/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/integrales/capitulo-3/leccion-de-matematicas-93/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/integrales/capitulo-3/leccion-de-matematicas-93/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/integrales/capitulo-video-41ddc4bc/leccion-de-video-7f448d93/ et: https://astra-ai.co/et/videos/integraalid/maaramata-integraal/ratsionaalfunktsioonide-integreerimine/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/integraalit/maaraamaton-integraali/rationaalifunktioiden-integrointi/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/integrales/integrale-indefinie/integration-de-fonctions-rationnelles/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/integrali/neodredeni-integral/integracija-racionalnih-funkcija/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/integralok/hatarozatlan-integral/racionalis-fuggvenyek-integralasa/ id: https://astra-ai.co/id/videos/integral/integral-tak-tentu/integrasi-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/integrali/integrale-indefinito/integrazione-funzioni-razionali/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/integrals-ja/ja-chapter-03/093/ km: https://astra-ai.co/km/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/integrals-ko/03/093/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-integrals/lo-41ddc4bc/7f448d93/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/integralai/neapibreztinis-integralas/pamoka-7f448d93/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/integrali/nenoteiktais-integralis/stunda-7f448d93/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/integrals/bab-07-matematik-asas/pelajaran-093/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/kamiran/bab-matematik-03/pelajaran-7f448d93/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/integrales/capitulo-3/leccion-93/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-integrals/my-41ddc4bc/7f448d93/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/integralen/onbepaalde-integraal/integratie-van-rationale-functies/ no: https://astra-ai.co/no/videos/integraler/ubestemt-integral/integrasjon-av-rasjonale-funksjoner/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calka-nieoznaczona/calkowanie-funkcji-wymiernych/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/integrais/integral-indefinido/integracao-de-funcoes-racionais/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/integrais/chapter-41ddc4bc/licao-de-video-093/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/integrale/integrala-nedefinita/integrarea-functiilor-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/integraly/kapitola-003/lekcia-093/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/integrali/nedoloceni-integral/integracija-racionalnih-funkcij/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/integrali/poglavlje-003/lekcija-093/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/integraler/obestamd-integral/integration-av-rationella-funktioner/ th: https://astra-ai.co/th/videos/integrals/bot-07-paripan-mai-chamkat-khet/botrian-093/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/integraller/bolum-003/ders-093/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-02/uk-chapter-07/uk-lesson-7f448d93/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-02/vi-chapter-07/tich-phan-ham-phan-thuc/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-002/shuxue-zhang-007/shuxue-kecheng-093/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ --- # Całkowanie funkcji wymiernych > Całkowanie funkcji wymiernych. Ta lekcja wyjaśnia pojęcie i pokazuje pierwsze przykłady. Całkowanie funkcji wymiernych jest ważną procedurą w analizie matematycznej. Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów postaci P(x)/Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) nie jest równe zeru. Całkowanie takich funkcji wymaga zrozumienia różnych technik i metod. ## Podstawowe pojęcia Funkcja wymierna jest zdefiniowana jako P(x)/Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami. Głównym celem podczas całkowania funkcji wymiernych jest uproszczenie funkcji do takiego stopnia, aby można ją było całkować za pomocą standardowych metod rachunku całkowego. ## Metody całkowania - DZIELENIE WIELOMIANÓW WYMIERNE: Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w mianowniku, najpierw wykonujemy dzielenie wymierne wielomianów. To pozwala nam rozłożyć funkcję wymierną na część wielomianową i właściwą część wymierną (gdzie stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika), którą następnie łatwiej całkować. - ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE: Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku (tj. jest to właściwa funkcja wymierna), rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste. Ta metoda polega na rozkładaniu mianownika na czynniki i reprezentowaniu oryginalnej funkcji jako sumy prostszych funkcji wymiernych, których mianowniki są czynnikami oryginalnego mianownika. - PODSTAWIENIE TRYGONOMETRYCZNE: W niektórych przypadkach, szczególnie gdy pojawiają się wyrażenia zawierające pierwiastki kwadratowe z wyrażeń kwadratowych (które mogą czasami wynikać z mianowników funkcji wymiernych lub po innych manipulacjach), można użyć podstawienia trygonometrycznego. ## Przykład Spójrzmy na przykład całkowania funkcji wymiernej 1/(x^2 - 1). Ta funkcja może być rozłożona na ułamki proste: 1/(x^2 - 1) = 1/((x - 1)(x + 1)) = A/(x - 1) + B/(x + 1) Przez odpowiednią procedurę (rozwiązywanie dla A i B przez przyrównywanie współczynników lub podstawianie wartości x) znajdujemy A = 1/2 i B = -1/2. To prowadzi do: (1/2)/(x - 1) - (1/2)/(x + 1) Następnie całkujemy każdy ułamek osobno: Całka z \[1/(x^2 - 1)] dx = Całka z \[(1/2)/(x - 1)] dx - Całka z \[(1/2)/(x + 1)] dx = (1/2)\*ln|x - 1| - (1/2)\*ln|x + 1| + C gdzie C jest stałą całkowania. ## Podsumowanie Całkowanie funkcji wymiernych jest kluczowym narzędziem w analizie matematycznej, które pozwala na rozwiązywanie szerokiego zakresu problemów. Rozumiejąc i stosując techniki takie jak dzielenie wymierne wielomianów, rozkład na ułamki proste i podstawienie trygonometryczne, możemy rozwiązywać złożone całki funkcji wymiernych. Ten proces nie tylko wzmacnia nasze zrozumienie całkowania, ale także rozwija nasze umiejętności w manipulacjach algebraicznych i myśleniu analitycznym.