---
title: Całka nieoznaczona - definicja obliczanie funkcji pierwotnej
description: Całka nieoznaczona to funkcja pierwotna plus stała. Podstawowe wzory i pierwsze przykłady.
url: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calka-nieoznaczona/
locale: pl
type: video-chapter
keywords:
  - całka nieoznaczona
  - funkcja pierwotna
  - stała
  - całkowanie
published: 2026-10-01T09:48:23.830Z
updated: 2026-10-04T22:46:03.433Z
alternates:
  uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-02/uk-chapter-07/
  it: https://astra-ai.co/it/videos/integrali/integrale-indefinito/
  pl: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calka-nieoznaczona/
  en: https://astra-ai.co/videos/integrals/indefinite-integral/
  fr: https://astra-ai.co/fr/videos/integrales/integrale-indefinie/
  fi: https://astra-ai.co/fi/videos/integraalit/maaraamaton-integraali/
  vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-02/vi-chapter-07/
  el: https://astra-ai.co/el/videos/olokliromata/aoristo-olokliroma/
  de: https://astra-ai.co/de/videos/integralrechnung/unbestimmtes-integral/
  sl: https://astra-ai.co/sl/videos/integrali/nedoloceni-integral/
  hr: https://astra-ai.co/hr/videos/integrali/neodredeni-integral/
  pt: https://astra-ai.co/pt/videos/integrais/integral-indefinido/
  nl: https://astra-ai.co/nl/videos/integralen/onbepaalde-integraal/
  es: https://astra-ai.co/es/videos/integrales/integral-indefinida/
  bg: https://astra-ai.co/bg/videos/integrali/neopredelen-integral/
  da: https://astra-ai.co/da/videos/integraler/ubestemt-integral/
  cs: https://astra-ai.co/cs/videos/integraly/neurcity-integral/
  et: https://astra-ai.co/et/videos/integraalid/maaramata-integraal/
  id: https://astra-ai.co/id/videos/integral/integral-tak-tentu/
  hu: https://astra-ai.co/hu/videos/integralok/hatarozatlan-integral/
  sk: https://astra-ai.co/sk/videos/integraly/kapitola-003/
  ko: https://astra-ai.co/ko/videos/integrals-ko/03/
  sv: https://astra-ai.co/sv/videos/integraler/obestamd-integral/
  tr: https://astra-ai.co/tr/videos/integraller/bolum-003/
  no: https://astra-ai.co/no/videos/integraler/ubestemt-integral/
  ro: https://astra-ai.co/ro/videos/integrale/integrala-nedefinita/
  lv: https://astra-ai.co/lv/videos/integrali/nenoteiktais-integralis/
  lt: https://astra-ai.co/lt/videos/integralai/neapibreztinis-integralas/
  sr: https://astra-ai.co/sr/videos/integrali/poglavlje-003/
  zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/
  th: https://astra-ai.co/th/videos/integrals/bot-07-paripan-mai-chamkat-khet/
  km: https://astra-ai.co/km/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/
  my: https://astra-ai.co/my/videos/my-integrals/my-41ddc4bc/
  lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-integrals/lo-41ddc4bc/
  es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/integrales/capitulo-3/
  ms: https://astra-ai.co/ms/videos/integrals/bab-07-matematik-asas/
  br: https://astra-ai.co/br/videos/integrais/capitulo-matematica-007/
  es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/integrales/capitulo-3/
  zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-002/shuxue-zhang-007/
  en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/
  mx: https://astra-ai.co/mx/videos/integrales/capitulo-3/
  ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/kamiran/bab-matematik-03/
  es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/integrales/capitulo-video-41ddc4bc/
  en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/
  pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/integrais/chapter-41ddc4bc/
  ja: https://astra-ai.co/ja/videos/integrals-ja/ja-chapter-03/
---

# Całka nieoznaczona

> Całka nieoznaczona to funkcja pierwotna plus stała. Ten rozdział podaje podstawowe wzory i przykłady.

## Wprowadzenie do odwrotnego procesu różniczkowania

W analizie całka nieoznaczona reprezentuje odwrotną operację różniczkowania. Jest to proces, w którym szukamy funkcji, której pochodna jest równa danej funkcji. Taka funkcja nazywana jest funkcją pierwotną, a wynik całkowania jest oznaczany jako całka nieoznaczona.

## Definicja całki nieoznaczonej

Niech 'f' będzie funkcją zdefiniowaną na przedziale I. Całka nieoznaczona funkcji 'f' jest oznaczona przez:

Całka z f(x) dx = F(x) + C,

gdzie:

F(x) jest funkcją pierwotną, dla której F'(x) = f(x).

C jest dowolną stałą, zwaną stałą całkowania.

Ponieważ pochodna stałej wynosi zero, każda funkcja 'f' ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych, które różnią się tylko stałą.

## Podstawowe reguły całkowania

Całka z x^n dx = \[x^(n+1)] / (n + 1) + C, dla n != -1 (Reguła potęgowa)

Całka z (1/x) dx = ln|x| + C

Całka z e^x dx = e^x + C

Całka z a^x dx = a^x / ln(a) + C, dla a > 0, a != 1

Całka z sin(x) dx = -cos(x) + C

Całka z cos(x) dx = sin(x) + C

Całka z (1 / (1 + x^2)) dx = arctan(x) + C (lub tan^(-1)(x) + C)

Całka z (1 / Pierwiastek(1 - x^2)) dx = arcsin(x) + C (lub sin^(-1)(x) + C)

Całkowanie respektuje liniowość: Całka z \[af(x) + bg(x)] dx = a_Całka z f(x) dx + b_Całka z g(x) dx, gdzie 'a' i 'b' są stałymi rzeczywistymi.

## Przykład: całka funkcji F(X) = 3X^2 + 2X + 1

Rozkładamy wyrażenie i używamy podstawowych reguł:

Całka z (3x^2 + 2x + 1) dx = 3_Całka z x^2 dx + 2_Całka z x dx + Całka z 1 dx = 3 \* (x^3/3) + 2 \* (x^2/2) + x + C = x^3 + x^2 + x + C.

Zatem rodzina funkcji pierwotnych to: F(x) = x^3 + x^2 + x + C.

## Podsumowanie

Całka nieoznaczona jest odwrotną operacją różniczkowania i prowadzi do zbioru funkcji (rodziny funkcji), które wszystkie mają tę samą pochodną. Włączając stałą całkowania, obejmujemy wszystkie możliwe rozwiązania. Reguły całkowania są oparte na rozpoznawaniu znanych postaci funkcji i ich odwrotnej relacji z prawami różniczkowania.