--- title: Prodotto Scalare - Definizione, Formula a · b e Proprietà description: Il prodotto scalare di due vettori misura angolo e lunghezze. Formula e significato geometrico. url: https://astra-ai.co/it/videos/vettori/prodotto-scalare/ locale: it type: video-chapter keywords: - prodotto scalare - vettori - angolo - norma published: 2026-10-01T09:50:59.597Z updated: 2026-10-04T22:44:49.384Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/vektori/skalarno-proizvedenie/ br: https://astra-ai.co/br/videos/vetores/capitulo-matematica-051/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/vektory/skalarni-soucin/ da: https://astra-ai.co/da/videos/vektorer/skalarprodukt/ de: https://astra-ai.co/de/videos/vektoren/skalarprodukt/ el: https://astra-ai.co/el/videos/dianysmata/esoteriko-ginomeno/ en: https://astra-ai.co/videos/vectors/scalar-product-dot-product/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ es: https://astra-ai.co/es/videos/vectores/producto-escalar/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/vectores/capitulo-45/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/vectores/capitulo-45/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/vectores/capitulo-video-b29e1ae1/ et: https://astra-ai.co/et/videos/vektorid/skalaar-ehk-punktkorrutis/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/vektorit/pistetulo/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/vecteurs/produit-scalaire/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/vektori/skalarni-produkt/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/vektorok/skalaris-szorzat/ id: https://astra-ai.co/id/videos/vektor/perkalian-skalar/ it: https://astra-ai.co/it/videos/vettori/prodotto-scalare/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/vectors-ja/45/ km: https://astra-ai.co/km/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/vectors-ko/45/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-2f8d29f0/lo-b29e1ae1/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/vektoriai/skaliarine-sandauga/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/vektori/skalarais-reizinajums/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/vektor/bab-51-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/vektor/bab-b29e1ae1/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/vectores/capitulo-45/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-2f8d29f0/my-b29e1ae1/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/vectoren/scalair-product/ no: https://astra-ai.co/no/videos/vektorer/skalarprodukt-prikkprodukt/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/wektory/iloczyn-skalarny-iloczyn-kropkowy/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/vetores/produto-escalar/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/vetores/capitulo-de-video-045/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/vectori/produs-scalar-produsul-scalar/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/vektory/kapitola-045/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/vektorji/skalarni-produkt/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/vektori/poglavlje-045/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/vektorer/skalarprodukt-punktprodukt/ th: https://astra-ai.co/th/videos/wektor/bot-51-phon-khun-sakel/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/vektorler/bolum-045/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-20/uk-chapter-51/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-20/vi-chapter-51/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-020/shuxue-zhang-051/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ --- # Prodotto Scalare (Prodotto Punto) > Il prodotto scalare di due vettori misura angolo e lunghezze. Questo capitolo dà la formula e il senso geometrico. ## Definizione Base Il prodotto scalare (noto anche come prodotto punto) è un'operazione algebrica tra due vettori che restituisce un numero reale (uno scalare). A differenza del prodotto vettoriale (prodotto incrociato), che restituisce un nuovo vettore, il prodotto scalare esprime una relazione riguardante la direzione di due vettori. È usato per calcolare la proiezione di un vettore su un altro e per determinare l'ortogonalità (perpendicolarità). Per i vettori a = (x₁, y₁, z₁) e b = (x₂, y₂, z₂), il prodotto scalare è definito come: a · b = x₁_x₂ + y₁_y₂ + z₁\*z₂ In un piano (se le componenti z sono 0), la formula si semplifica in: a · b = x₁_x₂ + y₁_y₂ ## Interpretazione Geometrica Il prodotto scalare può anche essere espresso usando le grandezze (lunghezze) dei vettori e l'angolo tra loro: a · b = |a| \* |b| \* cos(φ), dove φ è l'angolo tra i vettori a e b, e 0° ≤ φ ≤ 180° (o 0 ≤ φ ≤ π radianti). Da questo, ne consegue: - Se a · b > 0, l'angolo tra i vettori è acuto (minore di 90°). - Se a · b < 0, l'angolo è ottuso (maggiore di 90°). - Se a · b = 0 (e nessun vettore è un vettore nullo), i vettori sono perpendicolari (ortogonali, l'angolo è 90°). ## Esempio Siano dati i vettori: a = (2, 1, -3) b = (-1, 4, 2) Il prodotto scalare è: a · b = 2\*(-1) + 1\*4 + (-3)\*2 = -2 + 4 - 6 = -4. Poiché il risultato è negativo, l'angolo tra i vettori è ottuso (maggiore di 90°). ## Proprietà - COMMUTATIVITÀ: a · b = b · a - DISTRIBUTIVITÀ RISPETTO ALL'ADDIZIONE VETTORIALE: a · (b + c) = a · b + a · c - MOLTIPLICAZIONE SCALARE: (k_a) · b = a · (k_b) = k\*(a · b) - Se almeno un vettore è il vettore nullo, allora il loro prodotto punto è 0. - Il prodotto scalare di un vettore con un vettore unitario restituisce la proiezione di quel vettore sulla direzione del vettore unitario (moltiplicato per la grandezza del vettore originale se non è una proiezione di un vettore unitario). Più precisamente, la proiezione del vettore a sul vettore b è ((a · b) / |b|²) \* b. ## Conclusione Il prodotto scalare è un'operazione importante nell'algebra vettoriale poiché collega le rappresentazioni algebriche e geometriche dei vettori. Consente di verificare l'ortogonalità, calcolare angoli e proiezioni, e funge da fondamento in molti contesti geometrici e fisici.