--- title: Zeri di un Polinomio - Definizione, Metodi e Molteplicità description: Gli zeri di un polinomio sono i valori che lo annullano. Legame con la fattorizzazione. url: https://astra-ai.co/it/videos/polinomi/zeri-di-un-polinomio/ locale: it type: video-chapter keywords: - zeri di un polinomio - radici - fattorizzazione - polinomio published: 2026-10-01T09:48:47.763Z updated: 2026-10-04T22:45:03.227Z alternates: pl: https://astra-ai.co/pl/videos/wielomiany/miejsca-zerowe-wielomianu/ de: https://astra-ai.co/de/videos/polynome/polynomielle-nullstellen/ it: https://astra-ai.co/it/videos/polinomi/zeri-di-un-polinomio/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/polynomit/polynomin-nollakohdat/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/polynomy/nuly-polynomu/ da: https://astra-ai.co/da/videos/polynomier/nulpunkter-for-et-polynomium/ el: https://astra-ai.co/el/videos/polyonima/rizes-polyonymou/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/polynomes/zeros-dun-polynome/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/polinomi/nicle-polinoma/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/polinomi/nule-polinoma/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/polinomios/zeros-de-um-polinomio/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/veeltermen/nullen-van-veeltermen/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/polinomi/nuli-na-polinomi/ id: https://astra-ai.co/id/videos/polinom/nol-polinom/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/polinomok/polinom-zerushelyei/ et: https://astra-ai.co/et/videos/polunoomid/polunoomi-nullkohad/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/polynomials-ko/15/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/polynomy/kapitola-015/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/polynom/nollstallen-for-ett-polynom/ no: https://astra-ai.co/no/videos/polynomer/nullpunkter-til-et-polynom/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/polinoame/radacinile-unui-polinom/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/polinomai/polinomo-saknys/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/polinomi/polinoma-saknes/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-01/vi-chapter-20/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/polynomials-uk/uk-chapter-20/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/polynomials/bab-20-matematik-asas/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/polinomi/poglavlje-015/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/polinomlar/bolum-015/ km: https://astra-ai.co/km/videos/polynomials/chapter-5278f894/ th: https://astra-ai.co/th/videos/phahunam/bot-20-rak-khong-phahunam/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/polynomials/chapter-5278f894/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-polynomials/my-5278f894/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-polynomials/lo-5278f894/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-001/shuxue-zhang-020/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/polinomios/capitulo-15/ br: https://astra-ai.co/br/videos/polinomios/capitulo-matematica-020/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/polynomials/chapter-5278f894/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/polinomios/capitulo-15/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/polinomios/capitulo-15/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/polinomial/bab-matematik-15/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/polinomios/capitulo-video-5278f894/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/polinomios/capitulo-de-video-015/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/polynomials/chapter-5278f894/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/polynomials-ja/ja-chapter-15/ en: https://astra-ai.co/videos/polynomials/zeros-of-a-polynomial/ es: https://astra-ai.co/es/videos/polinomios/ceros-de-un-polinomio/ --- # Zeri di un Polinomio > Gli zeri di un polinomio sono i valori che lo annullano. Questo capitolo collega zeri e fattorizzazione. ## Definizione e Significato Gli zeri di un polinomio sono quei valori della variabile x per i quali il polinomio è uguale a zero. Se P(x) è un polinomio dato, allora x\_0 è il suo zero se: P(x\_0) = 0 Risolvere l'equazione P(x) = 0 significa trovare tutti gli zeri del polinomio. Questi valori svolgono un ruolo chiave nella fattorizzazione, rappresentazione grafica e nell'analisi delle funzioni, poiché indicano i punti dove il grafico del polinomio interseca l'asse x. ## Relazione tra Zeri e Fattori Se x\_0 è uno zero di un polinomio, allora (x - x\_0) è un divisore (fattore) di quel polinomio. Viceversa, se un polinomio ha un fattore (x - c), allora c è il suo zero. Questo è noto come Teorema dei Fattori. Esempio: Se P(x) = (x - 2)(x + 1), allora i suoi zeri sono x = 2 e x = -1. ## Numero di Zeri Un polinomio di grado 'n' (dove n >= 1) ha al massimo 'n' zeri reali, ed esattamente 'n' zeri complessi se li contiamo con molteplicità. La molteplicità indica quante volte un particolare zero si ripete come soluzione. Ad esempio: P(x) = (x - 3)^2(x + 2) ha: - uno zero in 3 con molteplicità 2, - uno zero in -2 con molteplicità 1. ## Zeri Reali e Complessi - Un polinomio con coefficienti reali può avere zeri reali o complessi. - Se un polinomio ha coefficienti reali, qualsiasi zero complesso si presenta sempre in coppie coniugate (ad esempio, se z è uno zero, allora il suo coniugato, coniugato(z), è anche uno zero). ## Metodi per Trovare gli Zeri - Risolvere l'equazione P(x) = 0 direttamente o usando formule (come la formula quadratica per grado 2). - Fattorizzare il polinomio in fattori più semplici. - Usare l'algoritmo di Horner (divisione sintetica) per dividere il polinomio e testare possibili zeri. - Usare il Teorema delle Radici Razionali – se tutti i coefficienti sono interi, gli zeri razionali vengono cercati tra i divisori del termine costante divisi per i divisori del coefficiente principale. ## Esempio Sia P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Stiamo cercando i suoi zeri: - Usando il Teorema delle Radici Razionali: Possibili candidati razionali (divisori di -6 divisi per divisori di 1): ±1, ±2, ±3, ±6. - Testare i candidati: P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x = 1 è uno zero. - Dividere P(x) per (x - 1) usando la divisione sintetica o la divisione lunga. Il quoziente sarà x^2 - 5x + 6. - Trovare gli zeri del quoziente: x^2 - 5x + 6 = 0 Questo può essere fattorizzato come (x - 2)(x - 3) = 0. Quindi, gli zeri rimanenti sono x = 2 e x = 3. Zeri finali: x = 1, x = 2, x = 3. ## Significato Grafico Ogni zero reale di un polinomio è la coordinata x di un punto di intersezione del grafico della funzione f(x) = P(x) con l'asse x. - Se uno zero ha molteplicità pari, il grafico tocca l'asse x in quello zero (e si gira). - Se uno zero ha molteplicità dispari, il grafico attraversa l'asse x in quello zero. ## Conclusione Gli zeri di un polinomio sono un elemento fondamentale per comprendere e lavorare con le funzioni polinomiali. Con il loro aiuto, possiamo fattorizzare polinomi, analizzare l'andamento dei loro grafici e risolvere equazioni. La connessione tra zeri e fattori consente una chiara scomposizione di espressioni anche più complesse.