--- title: Integrazione di Funzioni Razionali - Frazioni Parziali description: Integrazione di Funzioni Razionali. Questa videolezione spiega l'argomento passo dopo passo con esempi. url: https://astra-ai.co/it/videos/integrali/integrale-indefinito/integrazione-funzioni-razionali/ locale: it type: video-lesson keywords: - integrazione di funzioni razionali - frazione - primitiva - denominatore published: 2026-10-01T09:58:57.333Z updated: 2026-10-04T23:21:38.808Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/integrali/neopredelen-integral/integrirane-na-ratsionalni-funktsii/ br: https://astra-ai.co/br/videos/integrais/capitulo-matematica-007/video-matematica-093/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/integraly/neurcity-integral/integrace-racionalnich-funkci/ da: https://astra-ai.co/da/videos/integraler/ubestemt-integral/integration-af-rationale-funktioner/ de: https://astra-ai.co/de/videos/integralrechnung/unbestimmtes-integral/integration-rationaler-funktionen/ el: https://astra-ai.co/el/videos/olokliromata/aoristo-olokliroma/integration-of-rational-functions/ en: https://astra-ai.co/videos/integrals/indefinite-integral/integration-of-rational-functions/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/integration-of-rational-functions/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ es: https://astra-ai.co/es/videos/integrales/integral-indefinida/integracion-de-funciones-racionales/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/integrales/capitulo-3/leccion-de-matematicas-93/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/integrales/capitulo-3/leccion-de-matematicas-93/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/integrales/capitulo-video-41ddc4bc/leccion-de-video-7f448d93/ et: https://astra-ai.co/et/videos/integraalid/maaramata-integraal/ratsionaalfunktsioonide-integreerimine/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/integraalit/maaraamaton-integraali/rationaalifunktioiden-integrointi/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/integrales/integrale-indefinie/integration-de-fonctions-rationnelles/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/integrali/neodredeni-integral/integracija-racionalnih-funkcija/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/integralok/hatarozatlan-integral/racionalis-fuggvenyek-integralasa/ id: https://astra-ai.co/id/videos/integral/integral-tak-tentu/integrasi-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/integrali/integrale-indefinito/integrazione-funzioni-razionali/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/integrals-ja/ja-chapter-03/093/ km: https://astra-ai.co/km/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/integrals-ko/03/093/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-integrals/lo-41ddc4bc/7f448d93/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/integralai/neapibreztinis-integralas/pamoka-7f448d93/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/integrali/nenoteiktais-integralis/stunda-7f448d93/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/integrals/bab-07-matematik-asas/pelajaran-093/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/kamiran/bab-matematik-03/pelajaran-7f448d93/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/integrales/capitulo-3/leccion-93/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-integrals/my-41ddc4bc/7f448d93/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/integralen/onbepaalde-integraal/integratie-van-rationale-functies/ no: https://astra-ai.co/no/videos/integraler/ubestemt-integral/integrasjon-av-rasjonale-funksjoner/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/calki/calka-nieoznaczona/calkowanie-funkcji-wymiernych/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/integrais/integral-indefinido/integracao-de-funcoes-racionais/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/integrais/chapter-41ddc4bc/licao-de-video-093/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/integrale/integrala-nedefinita/integrarea-functiilor-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/integraly/kapitola-003/lekcia-093/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/integrali/nedoloceni-integral/integracija-racionalnih-funkcij/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/integrali/poglavlje-003/lekcija-093/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/integraler/obestamd-integral/integration-av-rationella-funktioner/ th: https://astra-ai.co/th/videos/integrals/bot-07-paripan-mai-chamkat-khet/botrian-093/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/integraller/bolum-003/ders-093/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-02/uk-chapter-07/uk-lesson-7f448d93/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-02/vi-chapter-07/tich-phan-ham-phan-thuc/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-002/shuxue-zhang-007/shuxue-kecheng-093/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/integrals/chapter-41ddc4bc/lesson-7f448d93/ --- # Integrazione di Funzioni Razionali > Integrazione di Funzioni Razionali. Questa lezione spiega il concetto e mostra i primi esempi. ## Integrazione di Funzioni Razionali L'integrazione di funzioni razionali è una procedura importante nell'analisi matematica. Una funzione razionale è un quoziente di due polinomi, della forma P(x)/Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, e Q(x) non è uguale a zero. L'integrazione di tali funzioni richiede una comprensione di varie tecniche e metodi. ## Concetti Base Una funzione razionale è definita come P(x)/Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi. L'obiettivo principale quando si integrano funzioni razionali è semplificare la funzione a tal punto che possa essere integrata usando metodi standard del calcolo integrale. ## Metodi di Integrazione - DIVISIONE POLINOMIALE LUNGA: Se il grado del polinomio nel numeratore è maggiore o uguale al grado del polinomio nel denominatore, eseguiamo prima la divisione polinomiale lunga. Questo ci consente di scomporre la funzione razionale in una parte polinomiale e una parte razionale propria (dove il grado del numeratore è minore del grado del denominatore), che è poi più facile da integrare. - DECOMPOSIZIONE IN FRAZIONI PARZIALI: Se il grado del polinomio nel numeratore è minore del grado del polinomio nel denominatore (cioè, è una funzione razionale propria), scomponiamo la funzione razionale in frazioni parziali. Questo metodo coinvolge la fattorizzazione del denominatore e la rappresentazione della funzione originale come una somma di funzioni razionali più semplici i cui denominatori sono fattori del denominatore originale. - SOSTITUZIONE TRIGONOMETRICA: In alcuni casi, specialmente quando appaiono espressioni che coinvolgono radici quadrate di espressioni quadratiche (che possono talvolta sorgere da denominatori in funzioni razionali o dopo altre manipolazioni), si può usare la sostituzione trigonometrica. ## Esempio Guardiamo un esempio di integrazione della funzione razionale 1/(x^2 - 1). Questa funzione può essere scomposta in frazioni parziali: 1/(x^2 - 1) = 1/((x - 1)\*(x + 1)) = A/(x - 1) + B/(x + 1) Attraverso la procedura appropriata (risolvendo per A e B uguagliando i coefficienti o sostituendo valori di x), troviamo A = 1/2 e B = -1/2. Questo porta a: (1/2)/(x - 1) - (1/2)/(x + 1) Poi, integriamo ogni frazione separatamente: ∫ \[1/(x^2 - 1)] dx = ∫ \[(1/2)/(x - 1)] dx - ∫ \[(1/2)/(x + 1)] dx \= (1/2)\*ln|x - 1| - (1/2)\*ln|x + 1| + C dove C è la costante di integrazione. ## Conclusione L'integrazione di funzioni razionali è uno strumento fondamentale nell'analisi matematica che consente la risoluzione di un'ampia gamma di problemi. Comprendendo e applicando tecniche come la divisione polinomiale lunga, la decomposizione in frazioni parziali e la sostituzione trigonometrica, possiamo risolvere integrali complessi di funzioni razionali. Questo processo non solo rafforza la nostra comprensione dell'integrazione ma sviluppa anche le nostre abilità nelle manipolazioni algebriche e nel pensiero analitico.