--- title: Grafico di una Funzione Razionale - Asintoti, Zeri e Buchi description: Il grafico di una funzione razionale mostra asintoti, zeri e comportamento agli estremi. url: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/grafico-funzione-razionale/ locale: it type: video-chapter keywords: - funzione razionale - asintoti - grafico - quoziente published: 2026-10-01T09:51:21.891Z updated: 2026-10-04T22:44:49.520Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/grafika-na-ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/capitulo-matematica-006/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/graf-racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/graf-for-en-rational-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/ el: https://astra-ai.co/el/videos/riti-synartisi/grafiki-parastasi-ritis-synartisis/ en: https://astra-ai.co/videos/rational-function/graph-of-a-rational-function/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ es: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/grafica-de-una-funcion-racional/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/funcion-racional/capitulo-video-bf9d9f6a/ et: https://astra-ai.co/et/videos/ratsionaalfunktsioon/ratsionaalfunktsiooni-graafik/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/rationaalifunktio/rationaalifunktion-kuvaaja/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/fonction-rationnelle/graphique-dune-fonction-rationnelle/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/racionalis-fuggveny/racionalis-fuggveny-grafikonja/ id: https://astra-ai.co/id/videos/fungsi-rasional/grafik-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/grafico-funzione-razionale/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/rational-function-ja/ja-chapter-02/ km: https://astra-ai.co/km/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/rational-function-ko/02/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-cb97549a/lo-bf9d9f6a/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/racionalioji-funkcija/racionaliosios-funkcijos-grafikas/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/racionala-funkcija/racionalas-funkcijas-grafiks/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/fungsi-nisbah/bab-06-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/fungsi-nisbah/chapter-bf9d9f6a/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/funcion-racional/capitulo-2/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-cb97549a/my-bf9d9f6a/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/rationele-functie/grafiek-van-een-rationale-functie/ no: https://astra-ai.co/no/videos/rasjonale-funksjoner/grafen-til-en-rasjonal-funksjon/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/wykres-funkcji-wymiernej/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/funcao-racional/grafico-de-uma-funcao-racional/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/funcao-racional/chapter-bf9d9f6a/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/functii-rationale/graficul-unei-functii-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/racionalna-funkcia/kapitola-002/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/racionalna-funkcija/poglavlje-002/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/rationella-funktioner/grafen-for-en-rationell-funktion/ th: https://astra-ai.co/th/videos/fangchan-trakka/bot-06-kraf-fangchan-trakka/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/rasyonel-fonksiyon/bolum-002/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-11/uk-chapter-06/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-11/vi-chapter-06/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-011/shuxue-zhang-006/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ --- # Grafico di una Funzione Razionale > Il grafico di una funzione razionale mostra asintoti e zeri. Questo capitolo spiega come tracciarlo. ## Introduzione e Importanza della Rappresentazione Grafica Una funzione razionale è data nella forma: f(x) = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, e Q(x) ≠ 0. Il suo grafico non è una curva continua come quella dei polinomi ma contiene interruzioni caratteristiche, asintoti, buchi e altri punti speciali. Lo scopo del grafico è mostrare il comportamento della funzione attorno ai suoi zeri e ai punti dove non è definita. ## Passaggi per Tracciare il Grafico di una Funzione Razionale ## Determinare il Dominio (Df) Il dominio Df include tutti i numeri reali tranne quelli dove Q(x) = 0. Questi punti sono esclusi perché la divisione per zero non è consentita. Esempio: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) → Q(x) = x - 2 → Df = R \ {2} (tutti i numeri reali tranne 2) ## Semplificare la Funzione (Se Possibile) A volte il numeratore e il denominatore possono essere fattorizzati e i fattori comuni cancellati. Ricorda che i punti corrispondenti ai fattori cancellati dal denominatore rappresentano ancora buchi e non sono nel dominio. Esempio: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) = \[(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Nessun fattore comune da cancellare qui). ## Determinare gli Zeri (Intercette X) della Funzione Gli zeri sono le soluzioni all'equazione P(x) = 0, purché Q(x) ≠ 0 in questi punti. Questi punti corrispondono alle intersezioni con l'asse x. Nell'esempio sopra: P(x) = (x - 1)(x + 1) → Zeri: x = -1, x = 1. ## Determinare l'Intercetta Y Sostituire x = 0, se 0 ∈ Df: Esempio: f(0) = (0^2 - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. L'intercetta y è (0, 0,5). ## Trovare gli Asintoti Verticali Questi si verificano nei valori di x dove Q(x) = 0 dopo la semplificazione (cioè, il fattore nel denominatore non si è cancellato con uno nel numeratore), e P(x) ≠ 0 in questi valori di x. In questi punti, la funzione tende verso ±∞, e il grafico si avvicina a una linea verticale. Esempio: Per f(x) = (x^2 - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2 → Asintoto verticale in x = 2. ## Trovare Asintoti Orizzontali o Obliqui Questi sono determinati confrontando i gradi del numeratore P(x) e del denominatore Q(x): Se grado P < grado Q → Asintoto orizzontale y = 0. Se grado P = grado Q → Asintoto orizzontale y = a\_n/b\_n (rapporto dei coefficienti principali). Se grado P > grado Q: Se grado P = grado Q + 1 → Asintoto obliquo, trovato mediante divisione polinomiale lunga. Se grado P > grado Q + 1 → Nessun asintoto orizzontale o obliquo (il comportamento è simile a un polinomio). Esempio: f(x) = (2x^2 + 1) / (x^2 - 3) → grado P = grado Q = 2. Asintoto orizzontale: y = 2/1 = 2. ## Identificare Buchi nel Grafico (Discontinuità Rimovibili) Se un fattore (x - c) appare sia nel numeratore che nel denominatore e può essere cancellato, allora c'è un buco nel grafico in x = c. La funzione non è definita in x=c, ma il grafico si avvicina al punto che esisterebbe se la funzione fosse definita lì. Esempio: f(x) = \[(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). Questo si semplifica in f(x) = x + 2, per x ≠ 1. → Il grafico è una linea retta con un buco in x = 1. Per trovare la coordinata y del buco, sostituire x=1 nell'espressione semplificata: y = 1 + 2 = 3. Buco in (1, 3). ## Analizzare il Comportamento Attorno ad Asintoti e Punti Chiave A sinistra e a destra di un asintoto verticale, la funzione spesso tende verso +∞ o -∞. Testare i punti per determinare la direzione. Per valori grandi di |x|, il grafico della funzione "abbraccia" o si avvicina all'asintoto orizzontale o obliquo. Il segno della funzione può essere determinato negli intervalli tra zeri e asintoti verticali. ## Esempio di un'Analisi Completa f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1) Semplificare: f(x) = \[(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Nessun fattore comune) Dominio (Df): R \ {1} Zeri: P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0 → x = -2, x = 2. Intercetta Y: f(0) = (0^2 - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Punto (0, 4). Asintoto Verticale: Q(x) = x - 1 = 0 → x = 1. Asintoto Orizzontale/Obliquo: Il grado di P(x) è 2, il grado di Q(x) è 1. Poiché grado P = grado Q + 1, c'è un asintoto obliquo. Eseguire la divisione polinomiale lunga di (x^2 - 4) per (x - 1). Il quoziente è x + 1 e il resto è -3. Quindi, f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). L'asintoto obliquo è y = x + 1. ## Conclusione Il grafico di una funzione razionale contiene informazioni importanti su zeri, asintoti, punti di interruzione (discontinuità) e il comportamento della funzione per |x| grandi. Un'analisi attenta del numeratore e del denominatore consente una comprensione grafica completa della funzione. Un'attenzione particolare dovrebbe essere prestata agli asintoti e ai buchi, poiché questi determinano le caratteristiche principali del corso del grafico.