--- title: Punti Stazionari, Funzioni Crescenti e Decrescenti - Analisi description: I punti stazionari, le funzioni crescenti e decrescenti si leggono dove la derivata si annulla. url: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/punti-stazionari-funzioni-crescenti-decrescenti/ locale: it type: video-chapter keywords: - punti stazionari - crescenti - decrescenti - derivata nulla published: 2026-10-01T09:48:04.487Z updated: 2026-10-04T22:45:29.951Z alternates: id: https://astra-ai.co/id/videos/turunan/titik-stasioner-fungsi-naik-dan-turun/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/la-derivee/points-stationnaires-et-sens-de-variation/ it: https://astra-ai.co/it/videos/derivate/punti-stazionari-funzioni-crescenti-decrescenti/ de: https://astra-ai.co/de/videos/ableitungen/stationre-punkte-aufsteigend-absteigend/ es: https://astra-ai.co/es/videos/derivadas/puntos-estacionarios/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/odvodi/stacionarne-tocke/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/derivaatat/stationaariset-pisteet-seka-kasvavat-ja-vahenevat-funktiot/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/derivacije/stacionarne-tocke/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/derivadas/pontos-estacionarios/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/derivaten/stationaire-punten/ el: https://astra-ai.co/el/videos/paragogoi/stathera-simeia-kai-ayxouses-fthinouses-synartiseis/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-013/shuxue-zhang-038/ da: https://astra-ai.co/da/videos/differentialregning/stationaere-punkter-og-voksende-aftagende-funktioner/ bg: https://astra-ai.co/bg/videos/derivati/statsionarni-tochki/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/derivaty/stacionarni-body/ et: https://astra-ai.co/et/videos/tuletised/statsionaarsed-punktid-ning-kasvavad-ja-kahanevad-funktsioonid/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/derivatives-ja/32/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/derivaltak/stacionarius-pontok-novekvo-es-csokkeno-fuggvenyek/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-13/uk-chapter-38/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/derivacie/kapitola-032/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-13/vi-chapter-38/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/derivator/stationara-punkter-vaxande-och-avtagande-funktioner/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/derivatives-ko/32/ no: https://astra-ai.co/no/videos/deriverte/stasjon-re-punkter-voksende-avtakende-funksjoner/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/derivate/puncte-stationare-functii-crescatoare-descrescatoare/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/izvodi/poglavlje-032/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/isvestines/stacionarieji-taskai-didejanti-mazejanti-funkcija/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/atvasinajumi/stacionarie-punkti-augosa-dilstosa-funkcija/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/turevler/bolum-032/ km: https://astra-ai.co/km/videos/derivatives/chapter-3c240780/ th: https://astra-ai.co/th/videos/anuphan/bot-38-chut-ning-fangchan-phoem-lot/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/terbitan/bab-38-matematik-asas/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/derivatives/chapter-3c240780/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-d351a5ea/lo-3c240780/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-d351a5ea/my-3c240780/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/derivadas/capitulo-32/ br: https://astra-ai.co/br/videos/derivadas/capitulo-matematica-038/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/terbitan/bab-3c240780/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/derivadas/capitulo-32/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/derivatives/chapter-3c240780/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/derivadas/capitulo-32/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/derivadas/capitulo-video-3c240780/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/derivatives/chapter-3c240780/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/derivadas/capitulo-de-video-032/ en: https://astra-ai.co/videos/derivatives/stationary-points-increasing-decreasing-functions/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/pochodne/punkty-stacjonarne-funkcje-rosnace-malejace/ --- # Punti Stazionari, Funzioni Crescenti e Decrescenti > I punti stazionari, le funzioni crescenti e decrescenti si leggono dove la derivata si annulla. Questo capitolo distingue massimi e minimi. ## Introduzione al Comportamento delle Funzioni Per comprendere il comportamento di una funzione e determinare le sue proprietà chiave, usiamo l'analisi della sua derivata. Una delle proprietà più importanti che scopriamo in questo modo è dove la funzione è crescente, dove è decrescente e dove ha i suoi valori estremi. I cosiddetti punti stazionari, che sono determinati usando la derivata prima, servono a questo scopo. ## Definizione di Punti Stazionari Sia 'f' una funzione differenziabile. Un punto x₀ è stazionario se f'(x₀) = 0. In tale punto, la tangente al grafico della funzione cambia da crescente a decrescente, o viceversa – o rimane orizzontale. I punti stazionari possono essere: - Un minimo locale, se la funzione in questo punto raggiunge il valore più piccolo in un certo intorno. - Un massimo locale, se raggiunge il valore più grande in un intorno. - Un punto di flesso (o punto di sella), se la direzione della funzione non cambia (ad esempio, rimane crescente), ma la forma del grafico (concavità) cambia intorno a questo punto. (Nota: I punti di flesso sono più formalmente identificati usando la derivata seconda o i cambiamenti nella concavità, ma una tangente orizzontale in un punto di flesso significa f'(x)=0). ## Natura Crescente e Decrescente di una Funzione Usando la derivata, possiamo anche determinare gli intervalli dove una funzione è crescente o decrescente: - Se f'(x) > 0 per tutti x in un certo intervallo, allora la funzione è crescente in quell'intervallo. - Se f'(x) < 0 per tutti x in un certo intervallo, la funzione è decrescente in quell'intervallo. - Se f'(x) = 0 in punti individuali, questi sono potenziali punti stazionari. Queste informazioni sono spesso raccolte in una tavola dei segni per la derivata, che aiuta a tracciare il grafico della funzione. ## Esempio: Funzione F(X) = X³ - 3X² + 2 Prima, troviamo la derivata: f'(x) = 3x^2 - 6x. Poi, risolviamo l'equazione f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 → x(3x - 6) = 0 → x = 0 o x = 2. Questi sono i punti stazionari. Quindi, verifichiamo il segno della derivata negli intervalli definiti da questi punti: - Per x < 0: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = -1. f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 → la funzione è crescente. - Per 0 < x < 2: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = 1. f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 → la funzione è decrescente. - Per x > 2: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = 3. f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 → la funzione è nuovamente crescente. Da questo, concludiamo che in x = 0 c'è un massimo locale, e in x = 2 c'è un minimo locale. ## Conclusione I punti stazionari sono fondamentali nell'analisi delle funzioni, poiché segnano i luoghi dove la direzione del grafico cambia. Usando la derivata, determiniamo dove una funzione è crescente o decrescente, il che consente una comprensione precisa del suo comportamento e andamento.