--- title: "Producto Escalar (Producto Punto): Fórmulas y Propiedades" description: Aprende qué es el producto escalar o producto punto, cómo se calcula y su interpretación geométrica para hallar el ángulo entre dos vectores. url: https://astra-ai.co/es/videos/vectores/producto-escalar/ locale: es type: video-chapter published: 2026-10-01T09:50:56.997Z updated: 2026-10-01T09:50:56.997Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/vektori/skalarno-proizvedenie/ br: https://astra-ai.co/br/videos/vetores/capitulo-matematica-051/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/vektory/skalarni-soucin/ da: https://astra-ai.co/da/videos/vektorer/skalarprodukt/ de: https://astra-ai.co/de/videos/vektoren/skalarprodukt/ el: https://astra-ai.co/el/videos/dianysmata/esoteriko-ginomeno/ en: https://astra-ai.co/videos/vectors/scalar-product-dot-product/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ es: https://astra-ai.co/es/videos/vectores/producto-escalar/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/vectores/capitulo-45/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/vectores/capitulo-45/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/vectores/capitulo-video-b29e1ae1/ et: https://astra-ai.co/et/videos/vektorid/skalaar-ehk-punktkorrutis/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/vektorit/pistetulo/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/vecteurs/produit-scalaire/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/vektori/skalarni-produkt/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/vektorok/skalaris-szorzat/ id: https://astra-ai.co/id/videos/vektor/perkalian-skalar/ it: https://astra-ai.co/it/videos/vettori/prodotto-scalare/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/vectors-ja/45/ km: https://astra-ai.co/km/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/vectors-ko/45/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-2f8d29f0/lo-b29e1ae1/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/vektoriai/skaliarine-sandauga/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/vektori/skalarais-reizinajums/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/vektor/bab-51-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/vektor/bab-b29e1ae1/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/vectores/capitulo-45/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-2f8d29f0/my-b29e1ae1/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/vectoren/scalair-product/ no: https://astra-ai.co/no/videos/vektorer/skalarprodukt-prikkprodukt/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/wektory/iloczyn-skalarny-iloczyn-kropkowy/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/vetores/produto-escalar/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/vetores/capitulo-de-video-045/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/vectori/produs-scalar-produsul-scalar/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/vektory/kapitola-045/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/vektorji/skalarni-produkt/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/vektori/poglavlje-045/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/vektorer/skalarprodukt-punktprodukt/ th: https://astra-ai.co/th/videos/wektor/bot-51-phon-khun-sakel/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/vektorler/bolum-045/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-20/uk-chapter-51/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-20/vi-chapter-51/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-020/shuxue-zhang-051/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/vectors/chapter-b29e1ae1/ --- # Producto Escalar ## **Definición Básica** El producto escalar (también conocido como producto punto) es una operación algebraica entre dos vectores que devuelve un número real (un escalar). A diferencia del producto vectorial, que devuelve un nuevo vector, el producto escalar expresa una relación con respecto a la dirección de dos vectores. Se utiliza para calcular la proyección de un vector sobre otro y para determinar la ortogonalidad (perpendicularidad). Para los vectores **a** = (x₁, y₁, z₁) y **b** = (x₂, y₂, z₂), el producto escalar se define como: `a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂` En un plano (si los componentes z son 0), la fórmula se simplifica a: `a · b = x₁·x₂ + y₁·y₂` ## **Interpretación Geométrica** El producto escalar también se puede expresar utilizando las magnitudes (longitudes) de los vectores y el ángulo entre ellos: `a · b = |a| · |b| · cos(φ)`, donde `φ` es el ángulo entre los vectores **a** y **b**, y `0° ≤ φ ≤ 180°` (o `0 ≤ φ ≤ π` radianes). De esto se deduce: - Si `a · b > 0`, el ángulo entre los vectores es agudo (menor de 90°). - Si `a · b < 0`, el ángulo es obtuso (mayor de 90°). - Si `a · b = 0` (y ninguno de los vectores es un vector nulo), los vectores son perpendiculares (ortogonales, el ángulo es de 90°). ## **Ejemplo** Sean los vectores dados: **a** = (2, 1, –3) **b** = (–1, 4, 2) El producto escalar es: `a · b = 2·(–1) + 1·4 + (–3)·2 = –2 + 4 – 6 = –4.` Como el resultado es negativo, el ángulo entre los vectores es obtuso (mayor de 90°). ## **Propiedades** - **CONMUTATIVIDAD:** `a · b = b · a` - **DISTRIBUTIVIDAD SOBRE LA SUMA DE VECTORES:** `a · (b + c) = a · b + a · c` - **MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR:** `(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)` - Si al menos un vector es el vector nulo, entonces su producto punto es 0. - El producto escalar de un vector con un vector unitario devuelve la proyección de ese vector sobre la dirección del vector unitario. Más precisamente, la proyección del vector **a** sobre el vector **b** es `((a · b) / |b|²) * b`. ## **Conclusión** El producto escalar es una operación importante en el álgebra vectorial, ya que conecta las representaciones algebraicas y geométricas de los vectores. Permite comprobar la ortogonalidad, calcular ángulos y proyecciones, y sirve de base en muchos contextos geométricos y físicos.