--- title: "Cómo Graficar una Función Racional: Guía Paso a Paso" description: La gráfica de una función racional muestra asíntotas y polos. Cómo leerla desde la ecuación. url: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/grafica-de-una-funcion-racional/ locale: es type: video-chapter keywords: - función racional - asíntotas - polos - gráfica published: 2026-10-01T09:51:19.080Z updated: 2026-10-04T22:41:43.158Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/grafika-na-ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/capitulo-matematica-006/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/graf-racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/graf-for-en-rational-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/ el: https://astra-ai.co/el/videos/riti-synartisi/grafiki-parastasi-ritis-synartisis/ en: https://astra-ai.co/videos/rational-function/graph-of-a-rational-function/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ es: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/grafica-de-una-funcion-racional/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/funcion-racional/capitulo-video-bf9d9f6a/ et: https://astra-ai.co/et/videos/ratsionaalfunktsioon/ratsionaalfunktsiooni-graafik/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/rationaalifunktio/rationaalifunktion-kuvaaja/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/fonction-rationnelle/graphique-dune-fonction-rationnelle/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/racionalis-fuggveny/racionalis-fuggveny-grafikonja/ id: https://astra-ai.co/id/videos/fungsi-rasional/grafik-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/grafico-funzione-razionale/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/rational-function-ja/ja-chapter-02/ km: https://astra-ai.co/km/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/rational-function-ko/02/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-cb97549a/lo-bf9d9f6a/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/racionalioji-funkcija/racionaliosios-funkcijos-grafikas/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/racionala-funkcija/racionalas-funkcijas-grafiks/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/fungsi-nisbah/bab-06-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/fungsi-nisbah/chapter-bf9d9f6a/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/funcion-racional/capitulo-2/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-cb97549a/my-bf9d9f6a/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/rationele-functie/grafiek-van-een-rationale-functie/ no: https://astra-ai.co/no/videos/rasjonale-funksjoner/grafen-til-en-rasjonal-funksjon/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/wykres-funkcji-wymiernej/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/funcao-racional/grafico-de-uma-funcao-racional/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/funcao-racional/chapter-bf9d9f6a/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/functii-rationale/graficul-unei-functii-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/racionalna-funkcia/kapitola-002/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/racionalna-funkcija/poglavlje-002/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/rationella-funktioner/grafen-for-en-rationell-funktion/ th: https://astra-ai.co/th/videos/fangchan-trakka/bot-06-kraf-fangchan-trakka/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/rasyonel-fonksiyon/bolum-002/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-11/uk-chapter-06/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-11/vi-chapter-06/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-011/shuxue-zhang-006/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ --- # Gráfica de una Función Racional > La gráfica de una función racional muestra asíntotas y a veces polos. Este capítulo la lee desde numerador y denominador. ## **Introducción y la Importancia de la Representación Gráfica** Una función racional se da en la forma: `f(x) = P(x) / Q(x)`, donde `P(x)` y `Q(x)` son polinomios, y `Q(x) ≠ 0`. Su gráfica no es una curva continua como la de los polinomios, sino que contiene rupturas características, asíntotas, agujeros y otros puntos especiales. El propósito de la gráfica es mostrar el comportamiento de la función alrededor de sus ceros y los puntos donde no está definida. ## **Pasos para Graficar una Función Racional** - **DETERMINAR EL DOMINIO (Df)** El dominio Df incluye todos los números reales excepto aquellos donde `Q(x) = 0`. Estos puntos se excluyen porque la división por cero no está permitida. - - **Ejemplo:** `f(x) = (x² – 1) / (x – 2)` → `Q(x) = x – 2` → Df = ℝ \ {2} (todos los números reales excepto 2). - **SIMPLIFICAR LA FUNCIÓN (SI ES POSIBLE)** A veces, el numerador y el denominador se pueden factorizar y los factores comunes se pueden cancelar. Recuerda que los puntos correspondientes a los factores cancelados del denominador todavía representan agujeros y no están en el dominio. - - **Ejemplo:** `f(x) = (x² – 1) / (x – 2) = [(x – 1)(x + 1)] / (x – 2)`. (No hay factores comunes para cancelar aquí). - **DETERMINAR LOS CEROS (INTERSECCIONES CON EL EJE X)** Los ceros son las soluciones de la ecuación `P(x) = 0`, siempre que `Q(x) ≠ 0` en estos puntos. Estos puntos corresponden a las intersecciones con el eje x. - - **En el ejemplo anterior:** `P(x) = (x – 1)(x + 1)` → Ceros: `x = –1, x = 1`. - **DETERMINAR LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y** Sustituye `x = 0`, si `0 ∈ Df`: - - **Ejemplo:** `f(0) = (0² – 1) / (0 – 2) = –1 / (–2) = 0.5`. La intersección con el eje y es `(0, 0.5)`. - **ENCONTRAR ASÍNTOTAS VERTICALES** Estas ocurren en los valores de `x` donde `Q(x) = 0` _después_ de la simplificación (es decir, el factor en el denominador no se canceló con uno en el numerador), y `P(x) ≠ 0` en estos valores de `x`. En estos puntos, la función tiende hacia ±∞, y la gráfica se acerca a una línea vertical. - - **Ejemplo:** Para `f(x) = (x² – 1)/(x – 2)`, `Q(x) = x – 2` → Asíntota vertical en `x = 2`. - **ENCONTRAR ASÍNTOTAS HORIZONTALES U OBLICUAS** Estas se determinan comparando los grados del numerador `P(x)` y el denominador `Q(x)`: - - Si **grad P < grad Q** → Asíntota horizontal `y = 0`. - Si **grad P = grad Q** → Asíntota horizontal `y = aₙ/bₙ` (razón de los coeficientes principales). - Si **grad P > grad Q**: - - Si **grad P = grad Q + 1** → Asíntota oblicua, que se encuentra mediante la división larga de polinomios. - Si **grad P > grad Q + 1** → No hay asíntota horizontal ni oblicua (el comportamiento es similar al de un polinomio). - **Ejemplo:** `f(x) = (2x² + 1) / (x² – 3)` → `grad P = grad Q = 2`. Asíntota horizontal: `y = 2/1 = 2`. - **IDENTIFICAR AGUJEROS EN LA GRÁFICA (DISCONTINUIDADES EVITABLES)** Si un factor `(x – c)` aparece tanto en el numerador como en el denominador y se puede cancelar, entonces hay un agujero en la gráfica en `x = c`. La función no está definida en `x=c`, pero la gráfica se acerca al punto que existiría si la función estuviera definida allí. - - **Ejemplo:** `f(x) = [(x – 1)(x + 2)] / (x – 1)`. Esto se simplifica a `f(x) = x + 2`, para `x ≠ 1`. → La gráfica es una línea recta con un agujero en `x = 1`. Para encontrar la coordenada y del agujero, sustituye `x=1` en la expresión simplificada: `y = 1 + 2 = 3`. Agujero en `(1, 3)`. - **ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO ALREDEDOR DE LAS ASÍNTOTAS Y PUNTOS CLAVE** A la izquierda y a la derecha de una asíntota vertical, la función a menudo tiende hacia `+∞` o `-∞`. Prueba puntos para determinar la dirección. Para valores grandes de `|x|`, la gráfica de la función se "pega" o se acerca a la asíntota horizontal u oblicua. El signo de la función se puede determinar en los intervalos entre los ceros y las asíntotas verticales. ## **Ejemplo de un Análisis Completo** `f(x) = (x² – 4) / (x – 1)` - **Simplificar:** `f(x) = [(x – 2)(x + 2)] / (x – 1)` (No hay factores comunes). - **Dominio (Df):** ℝ \ {1}. - **Ceros:** `P(x) = (x – 2)(x + 2) = 0` → `x = –2, x = 2`. - **Intersección con el eje Y:** `f(0) = (0² – 4) / (0 – 1) = –4 / –1 = 4`. Punto `(0, 4)`. - **Asíntota Vertical:** `Q(x) = x – 1 = 0` → `x = 1`. - **Asíntota Horizontal/Oblicua:** El grado de `P(x)` es 2, el grado de `Q(x)` es 1. Como `grad P = grad Q + 1`, hay una asíntota oblicua. Realiza la división larga de polinomios de `(x² – 4)` entre `(x – 1)`. El cociente es `x + 1` y el resto es -3. Entonces, `f(x) = x + 1 - 3/(x – 1)`. La asíntota oblicua es `y = x + 1`. ## **Conclusión** La gráfica de una función racional contiene información importante sobre los ceros, las asíntotas, los puntos de ruptura (discontinuidades) y el comportamiento de la función para valores grandes de `|x|`. Un análisis cuidadoso del numerador y el denominador permite una comprensión gráfica completa de la función. Se debe prestar especial atención a las asíntotas y los agujeros, ya que estos determinan las principales características del curso de la gráfica.