--- title: Asymptote einer rationalen Funktion – einfach erklärt description: Asymptote einer rationalen Funktion. Diese Videolektion erklärt das Thema Schritt für Schritt mit Beispielen. url: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/asymptote-einer-rationalen-funktion/ locale: de type: video-lesson keywords: - asymptote einer rationalen funktion - asymptote - rationale funktion - graph published: 2026-10-01T10:09:48.445Z updated: 2026-10-04T23:09:24.944Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/grafika-na-ratsionalna-funktsiya/asymptoti-na-ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/capitulo-matematica-006/video-matematica-011/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/graf-racionalni-funkce/asymptoty-racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/graf-for-en-rational-funktion/asymptoter-for-en-rationel-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/asymptote-einer-rationalen-funktion/ el: 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Diese Lektion erklärt den Begriff und zeigt die ersten Beispiele. ## **DEFINITION EINER RATIONALEN FUNKTION** Eine rationale Funktion ist eine mathematische Funktion, die als Quotient von zwei Polynomen ausgedrückt werden kann. Das bedeutet, dass eine rationale Funktion die Form f(x) = P(x)/Q(x) hat, wobei P(x) und Q(x) Polynome sind und Q(x) kein Nullpolynom sein darf (Q(x) ≠ 0). ## **BEGRIFF DER ASYMPTOTE** Die Asymptote einer rationalen Funktion ist eine Gerade, die das Verhalten des Graphen der Funktion beschreibt, wenn x oder f(x) sich bestimmten Werten nähern, diese aber nie erreichen. Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikale, horizontale und schräge Asymptoten. - **Vertikale Asymptoten treten auf, wenn sich die Funktion dem Unendlichen oder dem Minus-Unendlichen nähert, während sich x einem bestimmten Wert nähert.** **Dies ist der Fall, wenn der Nenner Q(x) gleich 0 ist, der Zähler P(x) für denselben Wert von x jedoch nicht gleich 0 ist.** - **Horizontale Asymptoten beschreiben das Verhalten des Graphen einer Funktion, wenn sich x gegen unendlich oder minus unendlich bewegt.** **Eine horizontale Asymptote tritt auf, wenn sich der Wert einer Funktion einer Konstanten nähert.** - **Schräge Asymptoten sind Asymptoten, die weder vertikal noch horizontal sind.** **Sie treten auf, wenn der Grad des Zählers den Grad des Nenners um eins übersteigt.** ## **WIE FINDET MAN DIE ASYMPTOTEN EINER RATIONALEN FUNKTION?** - **Vertikale Asymptoten: Lösen Sie die Gleichung Q(x) = 0. Jede Lösung, bei der P(x) ungleich 0 ist, ist der Ort der vertikalen Asymptote.** - **Horizontale Asymptoten: Wenn der Grad des Polynoms im Zähler kleiner ist als der Grad des Polynoms im Nenner, ist y=0 eine horizontale Asymptote.** **Wenn die Grade gleich sind, ist die horizontale Asymptote y= Koeffizient auf dem höchsten Potential des Zählers / Koeffizient auf dem höchsten Potential des Nenners.** - **Schräge Asymptoten: Wenn die Zählerrate die Nennerrate um eins übersteigt, wird eine Polynomdivision durchgeführt, um eine lineare Gleichung zu erhalten, die die schräge Asymptote darstellt.** ## **BEISPIEL:** Finden Sie die Asymptoten für die Funktion f(x) = (2x² + 3x - 5)/(x - 1). - **Vertikale Asymptote: Lösen Sie x - 1 = 0, was x = 1 ergibt. Bei x = 1 wird der Nenner 0, der Zähler jedoch nicht, so dass wir eine vertikale Asymptote bei x = 1 haben.** - **Horizontale Asymptote: Da der Grad des Zählers (2) größer ist als der Grad des Nenners (1), gibt es keine horizontale Asymptote.** - **Schräge Asymptote: Wir führen die Division der Polynome (2x² + 3x - 5) durch (x - 1) durch, was eine lineare Gleichung ergibt.** **Nehmen wir an, das Ergebnis der Division ist 2x + 5. Das bedeutet, dass die schräge Asymptote y = 2x + 5 ist.**