--- title: Graph einer rationalen Funktion zeichnen & verstehen description: Der Graph einer rationalen Funktion zeigt Asymptoten und Polstellen. So liest man den Verlauf aus der Gleichung. url: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/ locale: de type: video-chapter keywords: - rationalen funktion - asymptoten - polstellen - graph published: 2026-10-01T09:51:16.447Z updated: 2026-10-04T22:40:08.864Z alternates: bg: https://astra-ai.co/bg/videos/ratsionalna-funktsiya/grafika-na-ratsionalna-funktsiya/ br: https://astra-ai.co/br/videos/funcao-racional/capitulo-matematica-006/ cs: https://astra-ai.co/cs/videos/racionalni-funkce/graf-racionalni-funkce/ da: https://astra-ai.co/da/videos/rational-funktion/graf-for-en-rational-funktion/ de: https://astra-ai.co/de/videos/rationale-funktion/graph-einer-rationalen-funktion/ el: https://astra-ai.co/el/videos/riti-synartisi/grafiki-parastasi-ritis-synartisis/ en: https://astra-ai.co/videos/rational-function/graph-of-a-rational-function/ en-IN: https://astra-ai.co/en-IN/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ en-PH: https://astra-ai.co/en-PH/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ es: https://astra-ai.co/es/videos/funcion-racional/grafica-de-una-funcion-racional/ es-AR: https://astra-ai.co/es-AR/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-CL: https://astra-ai.co/es-CL/videos/funcion-racional/capitulo-2/ es-PE: https://astra-ai.co/es-PE/videos/funcion-racional/capitulo-video-bf9d9f6a/ et: https://astra-ai.co/et/videos/ratsionaalfunktsioon/ratsionaalfunktsiooni-graafik/ fi: https://astra-ai.co/fi/videos/rationaalifunktio/rationaalifunktion-kuvaaja/ fr: https://astra-ai.co/fr/videos/fonction-rationnelle/graphique-dune-fonction-rationnelle/ hr: https://astra-ai.co/hr/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ hu: https://astra-ai.co/hu/videos/racionalis-fuggveny/racionalis-fuggveny-grafikonja/ id: https://astra-ai.co/id/videos/fungsi-rasional/grafik-fungsi-rasional/ it: https://astra-ai.co/it/videos/funzione-razionale/grafico-funzione-razionale/ ja: https://astra-ai.co/ja/videos/rational-function-ja/ja-chapter-02/ km: https://astra-ai.co/km/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ ko: https://astra-ai.co/ko/videos/rational-function-ko/02/ lo: https://astra-ai.co/lo/videos/lo-cb97549a/lo-bf9d9f6a/ lt: https://astra-ai.co/lt/videos/racionalioji-funkcija/racionaliosios-funkcijos-grafikas/ lv: https://astra-ai.co/lv/videos/racionala-funkcija/racionalas-funkcijas-grafiks/ ms: https://astra-ai.co/ms/videos/fungsi-nisbah/bab-06-matematik-asas/ ms-BN: https://astra-ai.co/ms-BN/videos/fungsi-nisbah/chapter-bf9d9f6a/ mx: https://astra-ai.co/mx/videos/funcion-racional/capitulo-2/ my: https://astra-ai.co/my/videos/my-cb97549a/my-bf9d9f6a/ nl: https://astra-ai.co/nl/videos/rationele-functie/grafiek-van-een-rationale-functie/ no: https://astra-ai.co/no/videos/rasjonale-funksjoner/grafen-til-en-rasjonal-funksjon/ pl: https://astra-ai.co/pl/videos/funkcja-wymierna/wykres-funkcji-wymiernej/ pt: https://astra-ai.co/pt/videos/funcao-racional/grafico-de-uma-funcao-racional/ pt-TL: https://astra-ai.co/pt-TL/videos/funcao-racional/chapter-bf9d9f6a/ ro: https://astra-ai.co/ro/videos/functii-rationale/graficul-unei-functii-rationale/ sk: https://astra-ai.co/sk/videos/racionalna-funkcia/kapitola-002/ sl: https://astra-ai.co/sl/videos/racionalna-funkcija/graf-racionalne-funkcije/ sr: https://astra-ai.co/sr/videos/racionalna-funkcija/poglavlje-002/ sv: https://astra-ai.co/sv/videos/rationella-funktioner/grafen-for-en-rationell-funktion/ th: https://astra-ai.co/th/videos/fangchan-trakka/bot-06-kraf-fangchan-trakka/ tr: https://astra-ai.co/tr/videos/rasyonel-fonksiyon/bolum-002/ uk: https://astra-ai.co/uk/videos/uk-topic-11/uk-chapter-06/ vi: https://astra-ai.co/vi/videos/vi-topic-11/vi-chapter-06/ zh-HK: https://astra-ai.co/zh-HK/videos/shuxue-kecheng-011/shuxue-zhang-006/ zh-TW: https://astra-ai.co/zh-TW/videos/rational-function/chapter-bf9d9f6a/ --- # Graph einer rationalen Funktion > Der Graph einer rationalen Funktion zeigt Asymptoten und Polstellen. Dieses Kapitel liest den Verlauf aus Zähler und Nenner. ## **EINFÜHRUNG IN RATIONALE FUNKTIONEN** Eine rationale Funktion ist das Verhältnis (der Bruch) von zwei Polynomfunktionen. Sie wird in der folgenden Form geschrieben: **f(x) = p(x) / q(x)** wobei **p(x)** und **q(x)** Polynome sind und **q(x)** ungleich Null ist (damit die Funktion definiert ist). Eine Besonderheit der rationalen Funktionen ist, dass ihr Graph Lücken, Asymptoten und komplexe Änderungen enthalten kann, die bei Polynomen nicht vorkommen. ## **WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DES GRAPHEN** Beim Zeichnen des Graphen einer rationalen Funktion analysieren wir mehrere wichtige Eigenschaften: - **Bereich**Wir bestimmen, für welche Werte von x die Funktion nicht definiert ist. Dies sind die Werte, für die der Nenner gleich Null ist (q(x) = 0). Diese Punkte schließen wir aus dem Definitionsbereich aus. - **Vertikale Asymptoten**Jeder Wert von x, für den q(x) = 0 und p(x) ≠ 0 ist, definiert eine **vertikale Asymptote** - eine Linie, zu der der Graph konvergiert, die sich aber nicht schneidet. - **Horizontale Asymptoten**Diese werden durch den Vergleich des Grades des Polynoms im Zähler und im Nenner bestimmt: - - Wenn der Grad des Zählers **kleiner ist** als der Grad des Nenners → ist die horizontale Asymptote **y = 0** - Wenn die Grade **gleich** sind → ist die Asymptote **y = Koeffizient des führenden Terms des Zählers / Koeffizient des führenden Terms des Nenners** - Ist der Grad des Zählers **größer** → gibt es keine horizontale Asymptote (aber möglicherweise eine schräge) - Die**Schnittpunkte mit der y-Achse**erhält man durch Berechnung von f(0), wenn 0 im Bereich der Funktion liegt. - **Funktionsnullstellen**Punkte, an denen p(x) = 0 ist, definieren, wo der Graph die x-Achse schneidet - d. h., wo die Funktion einen Wert von 0 hat. - **Verhalten an Asymptoten**Wir prüfen, ob sich der Graph der Asymptote „von oben“ oder „von unten“ nähert, und auf welcher Seite des Punktes. ### **ZUSÄTZLICHE EIGENSCHAFTEN** - **Schräge Asymptote**Wenn der Grad des Zählers um eins größer ist als der Grad des Nenners, kann die Division eine **schräge Asymptote** ergeben, d. h. eine Linie der Form y = mx + n, gegen die der Graph für große Werte von x konvergiert. - **Lücken im Graphen (Stornierung)**Wenn die Terme im Zähler und im Nenner abgeschnitten werden (z. B. (x - 2)/(x - 2)(x + 1)), dann hat der Graph bei x = 2 keine Asymptote, sondern eine **Lücke**, die normalerweise durch einen offenen Kreis dargestellt wird. ### **BEISPIEL** Es sei die Funktion: **f(x) = (x² - 1) / (x - 1)** 1. Teilen Sie den Zähler: f(x) = ((x - 1)(x + 1)) / (x - 1) 2. Wir stehlen (obwohl wir den Bereich beobachten): f(x) = x + 1, aber **x ≠ 1** 3. Bereich: alle reellen x außer 1 4. Bei x = 1 ist die Funktion nicht definiert → **Lücke** 5. Der Graph der Funktion ist die Gerade y = x + 1, aber mit einer Lücke bei x = 1. ## **SCHLUSSFOLGERUNG** Der Graph einer rationalen Funktion weist eine reiche Struktur mit Asymptoten, Nullstellen, Lücken und Richtungsänderungen auf. Um den Graphen richtig zu zeichnen, müssen Zähler und Nenner sorgfältig analysiert und alle wichtigen Eigenschaften berechnet werden. Rationale Funktionen geben Aufschluss über das Verhalten von Ausdrücken, bei denen es zu Teilungen von Variablen kommt, und sind ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Analyse.