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title: Logarithmen verstehen - Definition, Regeln und Beispiele
description: Ein Logarithmus ist der Exponent, der eine gegebene Zahl erzeugt. Definition, Zehner- und natürlicher Logarithmus.
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  - logarithmus
  - exponent
  - zehnerlogarithmus
  - natürlicher logarithmus
published: 2026-10-01T09:47:20.453Z
updated: 2026-10-04T22:41:21.573Z
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# Logarithmus

> Ein Logarithmus ist der Exponent, der eine gegebene Zahl erzeugt. Dieses Kapitel erklärt die Definition sowie Zehner- und natürlichen Logarithmus.

## **GRUNDLEGENDENDEFINITION**

Ein Logarithmus ist die umgekehrte mathematische Operation der Potenzierung. Wenn wir eine Potenz der Form
a^b = c
haben, dann ist der Logarithmus der Zahl _c_ zur Basis _a_ gleich _b_, was man wie folgt schreibt:

logₐ(c) = b

Das bedeutet: Der Logarithmus beantwortet die Frage, „Zu welcher Potenz muss man die Basis _a_ erheben, um die Zahl _c_ zu erhalten?“

Zum Beispiel:
log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.

## **BESTANDTEILE DES LOGARITHMUS**

- **Basis (a):** Die Zahl, die potenziert wird (a > 0, a ≠ 1)

- **Argument (c):** Die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird (c > 0)

- **Ergebnis (b):** Der Exponent, der angibt, wie oft die Basis multipliziert wird

## **BESONDERE FÄLLE**

- **Zehnerlogarithmus:** Basis 10 → log(c) = log₁₀(c)

- **Natürlicher Logarithmus:** Basis e (≈ 2,718) → ln(c) = logₑ(c)

## **EIGENSCHAFTEN DER LOGARITHMEN**

Logarithmen folgen bestimmten Rechengesetzen:

logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)
logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y)
logₐ(xⁿ) = n·logₐ(x)
logₐ(a) = 1
logₐ(1) = 0

Ein Logarithmus ist nicht definiert für negative Argumente oder eine Basis, die gleich 1 ist, da in diesen Fällen kein gültiger Exponent bestimmt werden kann.

## **RECHENBEISPIELE**

Finde:
log₃(81)

Da 3⁴ = 81 gilt:
log₃(81) = 4

Ein weiteres Beispiel:
log₁₀(1000) = 3, da 10³ = 1000.

## **FAZIT**

Ein Logarithmus ist ein grundlegendes mathematisches Konzept, das Potenzen, Exponenten und Multiplikation auf inverse Weise verbindet. Dank seiner Eigenschaften können große oder sehr kleine Zahlen einfacher behandelt und exponentielle Ausdrücke in lineare Bestandteile zerlegt werden. Das Verständnis der Logarithmen bedeutet, das Verhältnis zwischen Wachstum, Potenzierung und der inversen Funktion der Potenzierung zu begreifen.